Основой прямой призмы является равнобедренный треугольник с основанием 8 см и боковой стороной 5 см. через основу этого треугольника проверено сечение, образует угол 60° с плоскостью основания и пересекает боковое ребро. найдите площадь этого сечения.

(Рисунок схематичный на готовой призме)

Пусть ABCA₁B₁C₁ - прямая призма, в основании которой лежит равнобедеренный треугольник ABC. Через основание (AB) треугольника ABC проведено сечение так, что ∠C₁AC = ∠С₁BC = 60°. Сечение пересекает ребро C₁C в точке E. 

Треугольник ACE = треугольнику BCE по двум сторонам и углу между ними:
AC = BC как боковые стороны равнобедренного треугольника ABC
СЕ - общая сторона
∠ACE = ∠BCE = 90°, т.к. призма прямая
⇒ AE = BE ⇒ сечение ABE- равнобедренный треугольник с основанием AB, боковыми сторонами AE u BE

В прямоугольном треугольнике ACE:
∠ACE = 90°
∠EAC = 60°
∠AEC = 180 - 90 - 60 = 30 (°)
Катет AC = 5 cм лежит против ∠AEC = 30°. Такой катет равен половине гипотенузы.
Гипотенуза AE = AC * 2
AE = 5 * 2 = 10 (см)

Площадь равнобедренного треугольника равна произведению высоты, проведенной к основанию на половину длины основания. 
EK - высота (также медиана и биссектриса), проведенная к основанию треугольника ABE. ⇒ AK = AB / 2 
AK = 8 / 2 = 4 (cм)
По теореме Пифагора:
AE² = AK² + EK²
EK² = AE² - AK²
EK² = 10² - 4² = 100 - 16 = 84
EK = √84 = 2√21 (см)

S(ABE) = EK * AK
S(ABE) = 2√21 * 4 = 8√21 (см²)

5 х - длина 1-й диагонали

12 х - длина 2-й диагонали

Площадь ромба 120 см² равна половине произведения диагоналей.

120 = 0,5·5x·12x

120 = 30 х²

х² = 4

х = 2

5 х = 10 см - длина 1-й диагонали

12 х = 24 см - длина 2-й диагонали

Диагонали ромба разбивают его на 4 равных прямоугольных треугольника.

В каждом тр-ке катетами являются половинки диагоналей, равные 5 см и 12 см, а гипотенузой является сторона ромба а.

Тогда по теореме Пифагора:

а² = 25 + 144 = 169

а = 13 см - сторона ромба

Р = 4 а = 4·13 = 52 см - периметр ромба

Высоту этой фигуры можно найти из прямоугольного треугольника, образованного длинной диагональю основания, большей диагональю параллелепипеда и высотой. Длинную диагональ основания можно найти по теореме косинусов. Знаем длину двух сторон треугольника, образованного сторонами основания, а угол между ними равен 180-60=120° Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. a2 = 32 + 52 - 2bc·Cos(120) a²=34-30·(-0,5)=49 a=7 Теперь очередь дошла до высоты параллелограмма. h²=25²-7²=574 h=24 cм