Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро образует угол 45 градусов с плоскостью основания. а)найдите длину бокового ребра пирамиды б)найдите площадь боковой поверхности в)найдите объём пирамиды !

а) Длина L бокового ребра пирамиды равна:
L = H/sinα = 6/(√2/2) = 6√2 см.

б) Площадь боковой поверхности.
Так как боковое ребро образует угол 45 градусов с плоскостью основания, то половина диагонали основания равна высоте пирамиды:
(d/2) = H = 6 см.
Сторона а основания (это квадрат) равна:
а = 2*(d/2)*sin45° = 2*6*(√2/2) = 6√2 см.
Периметр основания Р = 4а = 24√2 см.
Апофема А = √(Н² + (а/2)²) = √(36 + 18) = √54 = 3√6 см.
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*24√2*3√6 = 72√3 см².

в) Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)a²H = (1/3)*72*6 = 144 см³.

В основании правильной четырехугольной пирамидыSABCD лежит правильный четырехугольник - квадрат ABCD, высота (SO=H) пирамиды опущена в точку пересечения диагоналей квадрата. Боковые ребра правильной пирамиды равны. 
В прямоугольном треугольнике SOC:
∠SOC = 90°
∠SCO = 45°
∠OSC = 180 - 90 - 45 = 45 (°)
⇒ треугольник SOC - прямоугольный равнобедренный с основанием - гипотенузой и боковыми сторонами - равными катетами.
SO = CO = 6 (cм)
По теореме Пифагора:
SC² = SO² + CO²
SC² = 6² + 6²
SC² = 72
SC = 6√2 (см)
Длина бокового ребра 6√2 см

CO = 1/2 * d, где d - диагональ квадрата ABCD
⇒ d = CO * 2
d = 6 * 2 = 12 (см)
Площадь квадрата ABCD
Sосн = 1/2 * d²
Sосн = 1/2 * 12² = 144 / 2 = 72 (cм²)
Сторона квадрата
AB = √Sосн
AB = √72 = 6√2 (cм)
AB = BC = CD = AD = 6√2 (cм) ⇒ сторона основания пирамиды равна боковому ребру пирамиды ⇒ боковыми гранями пирамиды являются равные равносторонние треугольники со стороной 6√2 см

Треугольник SOC и треугольник DOC равны по двум сторонам и углу между ними: 
SO = ОD = ОС, т.к. диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам
∠SOC = ∠DOC  = 90° т.к. диагонали квадрата песекаются под прямым углом
⇒ SC = CD = 6√2 cм 
⇒ Треугольник SCD - равносторонний со стороной 6√2 см
⇒ Площадь боковой поверхности пирамиды равна
Sбок = 4 * S(SCD)
S(SCD) = a² * √3 / 4, где а - сторона правильного треугольника
S(SCD) = (6√2)² * √3 / 4 = 36 * 2 * √3 / 4 = 18√3 (cм²)
Sбок = 4 * 18√3 = 72√3 (см²)

Объем пирамиды:
V = 1/3 * Sосн * H

V = 1/3 * 72 * 6 = 144 (cм³)

Точка Е - середина основания ВС, точка К - середина оскования АД. Значит на отрезке ЕК лежит точка М. 
Для начала рассмотрим две трапеции, на которые отрезок ЕК поделил трапецию АВСД.
Трапеции АВЕК и КЕСД равновеликие, поскольку у них равны верхние и нижние основания и высота (так как Е и К середины оснований).
Известно, что медиана делит треугольник на два равновеликие треугольника. 
ОК - медиана треуг. АМД, ОЕ - медиана треуг. ВМС. 
Треуг. АМК и ДМК равновеликие. 
Треуг. ВМЕ и СМЕ также равновеликие.
Получается, что если от трапеций АВЕК и КЕСД отнять равновеликие треуг. АМК, ВМЕ и ДМК, СМЕ, то в результате останутся два равновеликие треуг. АМВ и СМД.
Доказано.

1. У правильного шестиугольника 6 осей симметрии. (рис 1). Три оси проходят через вершины противоположных угло, три оси через середины противоположных сторон.
2. Прямая имеет бесконечное количество осей симметрии. Сама прямая и любая перпендикулярная данной прямой прямая. 
3. У ромба действительно 1 центр симметрии и он находится в точке пересечения диагоналей. (рис 2)
4. У равнобедренного треугольника одна ось симметрии и она проходит через вершину при угле между равными сторонами и середину противолежащей стороны. (рис 3)