Урівнобедреному трикутнику авс (ав=вс) бісектриса кута а перетинає сторону вс у точці м. знайдіть кути трикутника авс, якщо ∠амв=117°

Розглянемо трикутник АМС. Сумка кутів трикутника дорівнює 180°, тоді ∠МАС+∠МСА+∠АМС=180°. 
Сума суміжних кутів дорівнює 180°. Кути АMВ i AMC суміжні. Відомо, що  ∠АМВ=117°, отже ∠АМС=180°-117°=63°
Бісектриса ділить кут навпіл отже  ∠ВАС= ∠ВАМ+ ∠МАС=2∠МАС. 
Трикутник АВС  рівнобедрений тому кути при основі рівні тобто ∠ВАС=∠ВСА, отже оскільки  ∠ВАС=2∠МАС, то і  ∠ВСА=2∠МАС
Звідси ∠МАС+2∠МАС+63°.=180°.
3∠МАС=180°-63°
3∠МАС=117°
∠МАС=39°
∠ВАС=∠ВСА= ∠ВАМ+ ∠МАС=2∠МАС=2*39°=78°
∠АВС=180°-78°-78°=24°- за т. про суму кутів трикутника. 
Відпповідь: ∠АВС=24°,  ∠ВАС=∠ВСА=78°

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой .
Дано:
DABC - равнобедренный;
AB - основание. CD - медиана .

Док-ть:
CD - высота и биссектриса .

Доказательство:

CA=CD - по условию
РA= РB - по свойству равнобедренного треугольника
AD=DB т. к. CD - медиана ,
ЮDCAD=DCBD (по 1-ому признаку равенства треугольников)
ЮРACD= РBCD, РADC= РBDC
РACD=РBCD Ю CD - биссектриса
РACD и РBCD - смежные и равны
Ю РACD и РBCD - прямые Ю CD - высота треугольника. ещё доказательство: http://oldskola1.narod.ru/Nikitin/0018.htm

Объяснение:

Проведём перпендикуляр в точке О. Я его назвал H1H2. Точка О лежит на средней линии трапеции (так как концы этого отрезка на серединах сторон). Средняя линия параллельна основаниям (такое свойство у средней линии трапеции). Значит H1H2 перпендикулярно и средней линии и основаниям.

Докажем, что H1O=H2O, это можно сделать по теореме Фалеса, утверждающей, что параллельные прямые отсекают на секущих равные отрезки, (отрезки на боковой стороне равны, значит и на перпендикуляре равны).

И теперь рассматриваем треугольники AOH2 и COH2, о чудо они равны по 2 углам и стороне между ними (OH2=OH1, только что доказали, угол AH2O=OH1C=90 (там перпендикуляры), угол AOH2=COH1 как вертикальные)

А если треугольники равны, то и стороны против равных углов в них равны (есть такая теорема) значит и AO=OC равны ч.т.д.