Найдите периметр параллелограмма abcd, если ab =5 , cb= 8

        ВС               соедини А с В,   С с D
                                                      получишь параллелограмм, где
                                                      АВ = 5;  СВ = 8
                                                       Р = ?
АD                     
                                                      Решение:
                                                   2( АВ + СВ) = 2(5 + 8) = 2*13 = 26
                                                   ответ: 26 - периметр.

АВСД - трапеция, АД-ВС=14 см, Р=86 см, ∠АВД=∠СВД, АВ=СД.
В трапеции биссектриса отсекает от противоположного основания отрезок, равный боковой стороне, прилежащей к биссектрисе (свойство трапеции, да и параллелограмма тоже). В нашем случае биссектриса - это диагональ, значит АВ=АД.
АВ=АД=СД, ВС=АД-14 ⇒ Р=4·АД-14,
86=4АД-14,
АД=25 см.
ВМ - высота на сторону АД.
В равнобедренной трапеции АМ=(АД-ВС)/2=14/2=7 см.
В тр-ке АВМ ВМ=√(АВ²-АМ²)=√(25²-7²)=24 см.
ВС=АД-14=25-14=11 см.
Площадь трапеции: S=(АВ+ВС)·ВМ/2=(25+11)·24/2=432 см² - это ответ.

Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM , касается боковой стороны KL в точке B , а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O1 касается основания ML и продолжений боковых сторон.                           

 а) Докажите, что треугольник OLO1 прямоугольный.                            

 б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK =16

––––––––––––––

а)

Пусть окружность с центром О1 касается продолжения KL в точке С.

Обе окружности вписаны в один и тот же угол МАL. Центр вписанной в угол окружности лежит на  его биссектрисе. 

Треугольник MKL- равнобедренный, следовательно, АК - его биссектриса и высота,⇒ 

АК⊥ML.  Т.к.  центры обеих окружностей лежат на АК

а угол КАМ - прямоугольный, то  ML-  общая касательная, и точка А -  общая точка касания. 

В то же время эти окружности вписаны в углы КLA и  CLA соответственно, и центры окружностей лежат на  биссектрисе LO - для вписанной в треугольник окружности с центром О, и биссектрисе LO1- для вневписанной окружности с центром О1.   

Угол KLC- развернутый, поэтому  углы КLA CLA- смежные. 

LO и LО1- биссектрисы углов КLA и ALC и делят их пополам, а сумма половин смежных углов равна 90º.⇒

угол ОLО1=90º, что и требовалось доказать. 

б)

Треугольник ОLO1 прямоугольный. АL в нем высота ( т.к. угол О1АL=90º).

Высота, проведенная из прямого угла к гипотенузе - среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу, а в нашем случае - между радиусами обеих окружностей. 

AL² =ОА•О1А

Длина AL неизвестна, но ее можно найти. 

АК=16, ОА=6, ⇒ОК=10.

Из ⊿ КВО по т.Пифагора найдем КВ=8 (  кстати,  отношение катета ОВ к гипотенузе КО=3:5 – треугольник египетский).

В ⊿ КАL отрезки АL = BL -  отрезки касательных из одной точки ( свойство). 

Примем  КL и  AL =x

Тогда по т.Пифагора 

КL²=KA²+AL²

(8+x)²=256+x²⇒

64+16x=256

16x=192

x=12

AL² =ОА•О1А

144=6 O1A

O1A=24 - это радиус второй окружности.