Ас-диагональ прямоугольника авсд. основание перпендикуляра вк, проведенного к этой диагонали, делит её на части 3 и 9 см. найдите площадь прямоугольника.

проведем диагональ вд которая пересекает диагональ ас в точке о.

решение:

ак=3см, ск=9см(по условию), значит по св-ву диагоналей прямоугольнка во=од=ао=ос=6см, отсюда имеем, что ко=9-6=3см. 

треугольники кво и авк- прямоугольные (т.к. вк- перпендикуляр по треугольник авк= треугольнику кво (по двум катетам), следовательно во=ав=6см.

треугольник авд- прямоугольный (т.к. авсд-прямоугольник), значит по теореме пифагора имеем, что ад=корень из (12^2-6^2)= 6корень из 3см. тогда площадь авсд=6*6корень из3=36корень из 3(см^2).

Пусть точки расположены на прямой в порядке а, в, с. рассмотрите тр-ки амв, вмс и амс, они равнобедренные по условию (ведь мы идем от противного). значит, угол мав=углу мва, угол мвс=углу мсв и угол мса=углу мас. отсюда (отметьте равные углы на чертеже, будет нагляднее) угол мва равен углу мвс, а это углы смежные, их сумма равна 180 градусов, следовательно, каждый из них прямой. отсюда все указанные углы также прямые, то есть мы из точки м опустили на прямую более одного перпендикуляра (целых три! то есть ам, мв и мс), что невозможно.  при основании треугольников равны, так как ma = mb = mc

Острый угол трапеции равен 180° - 135° = 45° опустив высоту из тупого угла трапеции на большее основание, видим, что высота трапеции, равная перпендикулярной боковой стороне, равна разности большего и меньшего оснований: 12дм - 8дм = 4дм, т.к. получившийся треугольник равнобедренный . наклонная боковая сторона равна 4дм : cos45° = 4 : 0.5√2 = 4√2 (дм) периметр трапеции: 8 + 12 + 4 + 4√2 = 24 + 4√2 (дм) ≈ 24 + 5,41 = 29,41 (дм) площадь трапеции  равна полусумме оснований, умноженной на высоту 0,5(12 + 8)· 4 = 40(дм²)