Луч ос лежит внутри угла аов, равного 120°. найдите угол вос, если он в три раза больше угла аос

Пусть <АОС=х°
тогда <ВОС=3х°
имеем х°+3х°=120°
4х=120 х=30°
значит <АОС=30°
<ВОС=3×30=90°

Сфера вписана в правильную пирамиду, значит основание высоты лежит в центре вписанной в основание окружности. r₀=ВМ.
Радиус сферы - отрезки КО и МО. r₁=КО=МО.
Прямоугольные треугольники РКО и РМО равны, так как КО=МО и РО - общая сторона.
По условию РК - радиус вписанной в боковую грань окружности. 
В тр-ках АВЕ и АВС радиусы вписанных окружностей равны, АВ - общая сторона, оба треугольника равнобедренные, значит треугольники равны.
В пирамиде ЕАВС боковые грани равны основанию, следовательно их площади равны, значит площадь полной поверхности пирамиды:
Sполн=4Sосн=4·6.2=24.8 (ед²) - это ответ.

Мне задачка очень понравилась..
смотри рисунок.
Сделаем обозначения.
т.к красные углы равны, тогда  α1+β1=α2+β2, т.е. геометрически эти пары углов , если их сложить,т образуют одинаковый угол.  Для понимания задачи это важно.
что значит с=√ав  ?  это среднее геометрическое, т.е. 

из треугольников АВС и АСД по т. синусов имеем


подставляя, получаем

но как мы помним, что α1 , β1    и  α2,β2  есть части одного и того же угла, тогда чтобы отношения синусов частей одного и того же угла были равны, нужно, чтобы были равны их синусы, соответственно и их углы,  т.е. α1=α2,  β1=β2
что и требовалось доказать.