Знайдіть катети прямокутного трикутника, висота якого поділяє гіпотенузу на відрізки, один з яких на 3 см менший від цієї висоти , а другий - на 4 см більший за висоту

Можно обойтись и без рисунка, но с ним нагляднее. 
Обозначим  сторону треугольника  а, сторону шестиугольника с. 
Радиус ОВ=ОН описанной вокруг равностороннего треугольника окружности  R=а/√3 
Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности равен радиусу описанной вокруг правильного треугольника окружности.
Здесь он ОН и равен а/√3 
В то же время R - это высота одного из  шести правильных треугольников, составляющих правильный шестиугольник. 
Сторона  с шестиугольника равна стороне  ОК=КМ такого  треугольника и равна с=R:sin (60°) 
ОК=(а/√3):(√3/2 
)с=2а/3 
Периметр треугольника 6√3, сторона а=2√3 
с=(2*2√3):3=(4√3):3 
Р(6)=6*4√3):3=8√3
В приложенном рисунке - более короткое решение. 

1) Значит внутренний угол, смежный с углом 135°, равен 45°.Треугольник прямоугольный. Сумма острых углов равна 90°. Значит второй острый угол тоже 45°. Треугольник прямоугольный равнобедренный.
Обозначим один катет х, другой катет х
По теореме Пифагора
х²+х²=10²
2х²=100
х²=50
Произведение катетов х·х=х²=50
ответ. 50
2) Значит внутренний угол, смежный с углом 120°, равен 60°.Треугольник прямоугольный. Сумма острых углов равна 90°. Значит второй острый угол равен 30°. В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30° равен половине гипотенузы. Пусть гипотенуза х см,
Тогда катет против угла в 30°  равен х/2. Сумма наибольшей и наименьшей стороны равна
х+(х/2)=15
3х/2=15
3х=30
х=10 см
Гипотенуза 10 см, катет против угла в 30 ° равен 5 см
Обозначим второй катет у
По теореме Пифагора
y+5²=10²
y²+25=100
y²=75
y=5√3
Произведение катетов
5·5√3=25√3