В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом C проведена средняя линия МN параллельная катету АС.Найдите длину MN, если АМ=√6, ВС=√15

Пусть АВС - равнобедренный треугольник и АВ=ВС.
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Значит АВ=ВС=20 см (8+12). Биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (свойство биссектрисы).
Тогда АС/АВ=12/8, отсюда АС=20*12/8=30 см.
Зная три стороны, по формулам радиуса вписанной окружности найдем этот радиус.
1. Радиус равен:  r=√[(p-a)(p-b)(p-c)/p], где a,b,c - стороны треугольника, р - полупериметр.  В нашем случае р=(20+20+30)/2=35см
r=√(15*15*5/35) =15/√7 или 15√7/7 см.
2. Для равнобедренного треугольника
r=(b/2)*√[(2a-b)/(2a+b)], где а - боковая сторона, b - основание.
Тогда 
r=15√(10/70)=15/√7=15√7/7 см.
ответ: r=15√7/7 см.

Назовём параллелаграмм АВСD. Из вершины "В" опустим две высоты к нижнему основанию и боковой стороне.
Допустим 12 см равно нижнее основание, а смежная с ним сторона ( Допустим правая) равна 9.
Мы знаем формулу параллелаграмма S = ah.
Так же мы можем составить обратную формулу,, чтобы найти высоту: h = S/a. 
За "а" мы примем первую величину 12.
h = 36:12 = 3 см. - это мы нашли первую высоту, которая была опущены к большему основанию.
Вторую высоту, которая была опущена к правой стороне мы найдём через ту же формулу.
h = 36 : 9 = 4 см.
Таким образом высоты будут равны 3 см и 4 см.