Периметр прямоугольника равен 56см .одна из его сторон равна16см.вычислите длину диагоналей прямоугольника.

p=2(a+b) отсюда b=p/2-a; b=56/2-16=12 см

применяем формулу пифагора c^2=a^2+b^2 находим с= 16^2+12^2=256+144=400

извлекаем корень и получаем длину диагонали d1=c=20 cм

диагонали в прямоугольнике равны, поэтому длина второй диагонали будет равна первой d1=d2

1. в правильной пирамиде площадь основания составляет 1/3 площади полной поверхности. найти двугранный угол при основании пирамиды.  примем длину стороны a основания за 1, периметр р = 3а = 3.тогда площадь основания so = a²√3/4 =  √3/4. площадь полной поверхности s =3so = 3√3/4. площадь боковой поверхности равна:   sбок = s - so = (3√3/4) - (√3/4) = 2√3/4 =  √3/2. а так как sбок = (1/2)ра, то апофема а равна:   а = 2sбок/p = 2*(√3/2)/3 =  √3/3. высота основания h = a*cos30° = 1*(√3/2) =  √3/2. проекция апофемы на основание в правильной треугольной пирамиде равна (1/3)h =  √3/6. двугранный угол между боковой гранью и основанием равен плоскому углу  α между апофемой и её проекцией на основание. cos  α = ((1/3)h/a) = (√3/6)/(√3/3) = 3/6 = 1/2. α = arc cos(1/2) = 60°. 2. в правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует со стороной основания угол β. отрезок, который соединяет центр вписанной в боковую грань окружности с вершиной основания этой грани, равен 1. определить боковую поверхность пирамиды.заданный отрезок длиной 1 - это часть биссектрисы угла боковой грани при основании от вершины до пересечения с апофемой.сторона а основания равна: а = 2*1*cos(β/2) = 2cos(β/2). периметр основания р = 4а = 8cos(β/2). апофема а равна: а = (а/2)*tgβ = cos(β/2)*tgβ. тогда sбок = (1/2)ра = (1/2)*(8cos(β/2))*(cos(β/2)*tgβ) = 4cos²(β/2)*tgβ (можно заменить функцию половинного угла на целого, но формула получится  более громоздкая).

ВС= 6 см; P=15 см; S=5√3 см²; R= 2√3 см.

Объяснение:

Пусть дан треугольник АВС, в котором АВ= 4 см, АС = 5 см , ∠А=60°.

Найдем сторону ВС по теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

ВС²=АВ²+АС²-2·АВ·АС·sinA;

\begin{gathered}BC^{2} =4^{2} +5^{2} -2\cdot4\cdot 5\cdot cos60^{0} ;BC^{2} =16+25-2\cdot20\cdot \dfrac{1}{2} ;\\BC^{2} =16+25-5;\\BC^{2}=36;\\BC=6.\end{gathered}

BC

2

=4

2

+5

2

−2⋅4⋅5⋅cos60

0

;

BC

2

=16+25−2⋅20⋅

2

1

;

BC

2

=16+25−5;

BC

2

=36;

BC=6.

Тогда ВС= 6 см

Периметр треугольника - сумма длин всех сторон треугольника.

\begin{gathered}P=AB+AC+BC;\\P=4+5+6=15\end{gathered}

P=AB+AC+BC;

P=4+5+6=15

см.

Найдем площадь треугольника по формуле.

\begin{gathered}S=\dfrac{1}{2} \cdot AB\cdot AC\cdot sin60^{0} ;S=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} =5\sqrt{3}\end{gathered}

S=

2

1

⋅AB⋅AC⋅sin60

0

;

S=

2

1

⋅4⋅5⋅

2

3

=5

3

см².

Радиус окружности, описанной около треугольника определим по формуле.

R=\dfrac{a}{2\cdot sin\alpha }R=

2⋅sinα

a

R=\dfrac{6}{2\cdot sin 60^{0} } =\dfrac{6}{2\cdot\dfrac{\sqrt{3} }{2} } =\dfrac{6}{\sqrt{3} } =\dfrac{6\sqrt{3} }{3} =2\sqrt{3} .R=

2⋅sin60

0

6

=

2⋅

2

3

6

=

3

6

=

3

6

3

=2

3

.

R=2√3 см.