Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0, 4 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

Пусть, дана пирамида АВСД,причем, АВС-равносторонний треугольник со стороной 4 см.
Опустим из т.А перпендикуляр на ВС, отметим т.М. В равностороннем треугольнике это и высота, и медиана треугольника, и бисектриссаугла А.
Вершина пирамиды Д будет иметь проекцию на плоскости АВС в т.О. Причем, т.О будет совпадать с серединой отрезка АМ.
Поскольку АВС-равносторонний, то АМ=√(АС²-МС²)=√(16-(4/2)²)=
=√(16-4)=√12=2√3(см)
Тогда АО=АМ/2=√3(см)
Поскольку все ребра пирамиды, в том числе и АД, имеют наклон к плоскости основания 45°, то ДО=АО=√3(см)
Площадь треугольника АВС равна
S=ВС*АМ/2=(4*2√3)/2=4√3(см²)
Объем пирамиды равен
V=S*ДО/3=(4√3*√3)/3=4см³
ответ: 4см³

Каждая из 3-х вписанных окружностей вписана в прямоугольный треугольник, на который делится высотами ( медианами и биссектрисами) исходный. Поскольку высоты из каждой вершины ∆ АВС равны, равны и вписанные в такие треугольники окружности. 

Сделаем рисунок и рассмотрим ∆ АСН.

Формула радиуса  вписанной в прямоугольный треугольник окружности 

r=(a+b-c):2, где а и b– катеты, с - гипотенуза. 

Угол НАС=30°

Гипотенуза АС=а, противолежащий углу 30°.2 катет НС=а/2

АН=АС•sin60°=a√3/2

r=(a√3/2+a/2-a):2=(a√3-a):4=a(√3-1):4

Соединив центры окружностей, получим правильный треугольник, стороны которого равны 2r. Каждый угол этого треугольника отсекает от окружностей по сектору с углом 60°. Всего таких секторов 3, площадь каждого равна 1/6 площади круга, значит, их общая площадь равна  3/6=1/2 площади круга.  

Искомая площадь криволинейного треугольника равна разности между площадью ∆ ОО1О2 и 1/2 площади одного из  вписанных кругов. 

S ∆ ОО1О2 по формуле площади правильного треугольника 

S=(2r)²•√3/4=r²√3

S(кp)=πr²

Искомая площадь r²√3-πr²/2=r²•(2√3-π):2 

 Подставим в это выражение найденный выше r = a(√3-1):4

S =[a(√3-1):4]²•(2√3-π):2 =a²(4-2√3)•(2√3-π):32

S =[a(√3-1):4]²•(2√3-π):2 =a²•(2-√3)•(2√3-π):16

После  вычислений получим искомую площадь равной 0,05401 а²