Точки К, М и Т расположены соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС так, что АК:КВ=ВМ:МС=СТ:ТА=2:5. Найдите площадь треугольника АВС , если площадь треугольника КМТ равна 19

Для решения этой задачи нам понадобится знание о пропорциональности отрезков и о том, какая связь существует между площадью треугольников, построенных на отрезках.

Пусть площадь треугольника АВС равна S. Также обозначим стороны треугольника АВС через a, b и c.

Дано, что АК:КВ=ВМ:МС=СТ:ТА=2:5. Из этого следует, что АК/КВ=ВМ/МС=СТ/ТА=2/5.

Рассмотрим отношение площадей треугольников АКВ и АВС. Пусть площадь треугольника АКВ равна S1. Так как отношение сторон АК/КВ=2/5, то отношение площадей треугольников будет равно (АК/КВ)^2= (2/5)^2 = 4/25. Значит, площадь треугольника АКВ равна S1 = (4/25)S.

Точно так же можно получить, что площади треугольников ВМС и СТА равны S2 = (4/25)S и S3 = (4/25)S соответственно.

Из условия задачи известно, что площадь треугольника КМТ равна 19.

Теперь мы можем выразить площадь треугольника АКВ через площади треугольников КМТ и ВМС:

S1 = S - 19 - S2.

Заметим, что треугольник АВС можно разбить на треугольники АКВ, ВМС и СТА, поэтому площадь треугольника АВС можно выразить как сумму площадей этих треугольников:

S = S1 + S2 + S3 = (S - 19 - S2) + S2 + (4/25)S.

Решая это уравнение относительно S, мы найдем значение площади треугольника АВС.

S = (S - 19 - S2) + S2 + (4/25)S.

S = S - 19 + (4/25)S.

19 = (4/25)S.

S = 19 * (25/4) = 475/4.

Таким образом, площадь треугольника АВС равна 475/4.