в равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена медиана ВМ, определите величину угла АВМ если угол АВС = 68 градусов

Дано :

Четырёхугольник ABCD — квадрат.

AD = 1 (ед).

BD — диагональ = √2 (ед).

Найти :

соs(∠BDA) = ?

Квадрат — четырёхугольник, всё стороны которого равны, а все углы прямые.

Рассмотрим прямоугольный ∆ABD.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

В нашем случае катет, прилежащий к ∠BDA — AD, а гипотенуза — BD (так как лежит против прямого угла).

То есть —

cos(∠BDA) = AD/BD

cos(∠BDA) = 1 (ед) / √2 (ед)

cos(∠BDA) = 1/√2

Или —

cos(∠BDA) = (√2)/2 (одно и тоже).

(√2)/2.

АЕ = ЕС, значит ΔAEC - равнобедренный.

∠ЕАС = ∠ЕСА (свойство равнобедренного треугольника), обозначим их α.

Пусть АВ = а, тогда АС = 2а.

Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Тогда

ВЕ:ЕС = АВ:АС = 1:2

Пусть ВЕ = х, тогда ЕС = EA = 2х.

В ΔЕАС по теореме косинусов для угла ЕАС:

cosα = (AE² + AC² - EC²)/(2AE·AC)

cosα = (4x² + 4a² - 4x²)/(8ax) = a/(2x)

В ΔВАЕ по теореме косинусов для угла ВАЕ:

cosα = (AB² + AE² - BE²)/(2AB·AE)

cosα = (a² + 4x² - x²)/(4ax) = (a² + 3x²)/(4ax)

(a² + 3x²)/(4ax) = a/(2x)

a² + 3x² = 2a²

a² = 3x²

a = x√3

cosα = a/(2x) = x√3/(2x) = √3/2 ⇒ α = 30°

∠ВСА = 30°

∠ВАС = 2∠ВСА = 60°  

∠АВС = 180° - ∠ВСА - ∠ВАС = 90°

ответ: 30°, 60°, 90°.