МАВС – правильная треугольная пирамида, АВ=а, МВ=2а. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины ребер АВ и АС параллельно грани МВС. Вычислите периметр сечения. Вычислите высоту сечения KF, точка К принадлежит ребру АМ.

В каждом из полученных треугольников два угла равны углам исходного треугольника как соответственные при параллельных. Три полученных треугольника подобны друг другу и исходному.

Обозначим их основания a, b, c.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Sa/Sb =3/12 => a/b =√(1/4) =1/2

Sb/Sc =12/27 => b/c =√(4/9) =2/3

Основание b лежит на основании исходного треугольника, основания a и с отложены на основании исходного треугольника как противоположные стороны параллелограммов. Основание исходного треугольника равно a+b+c.

a/(a+b+c) = 1/(1+2+3) =1/6 => Sa/S =(1/6)^2 <=> S=3*36 =108

Объем будет равен произведению длины на ширину и на высоту, то есть произведению линейных измерений этого прямоугольного параллелепипеда.
V=5*8*12=480
Площадь поверхности: у него 6 попарно равных граней, сумма их площадей будет площадью поверхности 
5*8+5*8+5*12+5*12+8*12+8*12=80+120+192=392
диагональ:  диагональ грани со сторонами 5 и 8 будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 5 и 8 она равна
√(25+64)=√89
искомая диагональ будет гипотенузой в прямоугольном треугольнике со сторонами √89 и 12
она равна √(89+144)=√233