Доказать, что плоскость, проходящая через концы трех ребер куба, выходящих из одной его вершины, перпендикулярна диагонали куба, выходящей из той же вершины куба, и отсекает от него третью часть.

если взять куб abcda1b1c1d1, то фигура с вершинами a1bc1d - правильный тетраэдр. поэтому проекция точки с1 на плоскость a1bd - это центр правильного треугольника a1bd - пусть это точка q1. 

у пирамиды aa1bd основание a1bd - правильный треугольник, и все боковые ребра равны (это ребра куба). поэтому проекция точки a  на плоскость a1bd - это центр правильного треугольника a1bd - точка q1. поскольку есть только одна прямая, перпендикулярная плоскости a1bd и проходящая через заданную точку   q1 - центр треугольника a1bd, то ac1 перпендикулярно a1bd.

что и требовалось доказать.

если провести еще одну плоскость - b1d1c, то она тоже перпендикулярна ac1 (доказывается точно так же, пусть центр треугольника b1d1c - точка q2), то есть параллельна плоскости bda1.

поэтому эти две плоскости (поскольку они параллельны) отсекают на разных прямых пропорциональные отрезки. то есть aq1/q1q2 = am/mc (м - центр грани abcd) и q1q2/q2c1 = a1m1/m1c1 (м1 - центр грани a1b1c1d1).

поэтому плоскости a1bd и b1d1c делят ac1 на три равных отрезка.

что и требовалось доказать.  

Пусть abcd – данная трапеция, cd = 2 см, ав = 3 см, bd = 3 см и ас = 4  см. чтобы известные элементы включить в один треугольник, перенесём диагональ bd на вектор dc в положение св'. рассмотрим треугольник асв'. так как вв'cd – параллелограмм, то в'с = 3 см, ав' = ав + вв' = ав + cd = 5 см. теперь известны все три стороны треугольника ав'с. так как ас²+ в'с²= ав'²= 16+9=25, то треугольник ав'с – прямоугольный, причем  асв' = 90°. отсюда непосредственно следует, что угол между диагоналями трапеции, равный углу асв', составляет 90°. площадь трапеции, как и всякого четырёхугольника, равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. отсюда площадь равна 1/2ac * bd *  sin 90° = 1/2 * 4 * 3 * 1 = 6 см². ответ: б

Пусть abcd - параллелограмм, ak и dk - биссектрисы углов a и d, при этом k лежит на bc. обозначим углы a и c за 2x, углы b и d за 2y. заметим, что 2x+2y=180 (сумма смежных углов параллелограмма равна 180 градусам), а x+y=90.   рассмотрим треугольник abk. в нём угол kab равен x, угол abk равен 2y. так как сумма всех углов равна 180=2x+2y, третий угол - bka -  равен x. значит, треугольник abk равнобедренный и ab=bk. аналогично, рассмотрим треугольник kcd, в нём угол dkc равен y, так как угол cdk равен y, а угол kcd равен 2x. значит, kcd таже равнобедренный и kc=cd. из того, что ab=bk следует, что ab=bk< bc, то есть, ab - меньшая сторона параллелограмма. значит, ad и bc - большие стороны параллелограмма, тогда ad=bc=14. значит, 14=bc=bk+kc=ab+cd. так как ab=cd, меньшая сторона параллелограмма равна 14/2=7.