20. найдите клощадь квадрата, если его диагональ равна 1.

ответ: если диагональ=1см, то Sквадрата=1см2

858.1) Доказать, что четырёхугольник АВСД - квадрат, если:
А(1; 2), В(4; 5), С(7; 2), Д(4; -1).

Четырёхугольник АВСД - квадрат в том случае, если его стороны равны и диагонали равны.
Находим длины сторон:
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √18 ≈ 4,242640687, 
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √18 ≈ 4.242640687, 
СД = √((Хд-Хс)²+(Уд-Ус)²) = √18 ≈ 4.242640687, 
АД = √((Хд-Ха)²+(Уд-Уа)²) = √18 ≈ 4.242640687.

Находим длины диагоналей:
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √36 = 6,
ВД = √((Хд-Хв)²+(Уд-Ув)²) = √36 = 6.

Доказано, условия подтверждены.

861.2) Найти угол А треугольника АВС если:
А(1; 2), В(-1; 3), С(3; 2).
Находим длины сторон
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √5 ≈ 2.236067977, 
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √17 ≈ 4.123105626, 
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √4 = 2.

Определяем косинус угла А:
cos A= (АВ²+АС²-ВС²)/(2*АВ*АС)  = -0.894427.
Этому косинусу соответствует угол  2,677945 радиан или 153,4349 градусов.   
 

В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60 градусов,длина бокового ребра равна 4 см. Найдите объём пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде основанием служит правильный треугольник. 
 Грани пирамиды - равнобедренные треугольники, т.к. боковые ребра равны. 
По условию плоский угол при вершине равен 60°. 
Следовательно, углы при основании боковых граней также равны 60°, 
и эти грани - равносторонние треугольники.
 Стороны основания равны боковым ребрам и равны 4 см 
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади её основания на высоту. 
Так как все ребра пирамиды равны, их проекции на основание также равны, и поэтому основание высоты КО пирамиды  находится в точке О пересечения высот основания АВС пирамиды.
Высоту КО найдем из прямоугольного треугольника АКО, где катеты КО и АО и гипотенуза АК. 
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
 АО -2/3 высоты АН ( которая в равностороннем треугольнике является и медианой) 
АН=АВ*sin(60°)=2√3 см 
АО=2*(2√3):3=(4√3):3 см 
КО=√(АК²-АО²)=√(16-48/9)=√(96/9)=(4√6):3 см 
V=Sh:3 
S= (a²√3):4=16√3):4=4√3 см² 
V=(4√3)*(4√6):3):3=(16√2):3 см³