Концы отрезка ab лежат на гранях двугранного угла равного 60. из точек a и b проведены перпендикуляры ad и bc к ребру двугранного угла. определить ab если dc=84, ad=15, bc=8см

 Опустим из т.А перпендикуляр АН на плоскость второй грани.  Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в ней.

 АН⊥НD.  НD- проекция наклонной АD. По т. о 3-х перпендикулярах HD⊥DC, и АD⊥DC,⇒ угол АDH-равен углу данного двугранного угла, т.е. 60°..  Треугольник АНD – прямоугольный по построению. DН=АD•cos60°=7,5 см.  АН=АD•sin60°=7,5√3 см.   Проведем НК║DC. HD и ВС перпендикулярны CD. Четырехугольник ВСDH - прямоугольник, КС=HD=7,5 см. ⇒ ВК=ВС-КС=0,5 см. ∆ НКВ - прямоугольный ( угол К=90°). По т.Пифагора ВН²=HK²+BK²=84²+0,5²=7056.25. Так.как АН⊥ВН, из прямоугольного ∆ АНВ по т.Пифагора АВ=√(BH²+AH²)=√(7056.25+168,75)=85 см

Задача 1)
 Сторона треугольника равна 21, а две другие стороны образуют угол в 60° и относятся как 3:8. Найдите эти стороны.
Примем коэффициент отношения сторон х. 
Тогда АВ=3х, АС=8х
По т. косинусов ВС²=АВ²+АС² - 2*АВ*АС*cos(60°)
441=9х²+64х²-2*24х²*1/2
49х²=441
х²=9
х=3 
АВ=3*3=9
АС=3*8=24

Задача 2)
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ос сторонами 5 и 8 и углом между ними 60°
Пусть дан треугольник АВС.
По условию АВ=5, АС=8, угол ВАС=60°
R=abc:4S
Чтобы воспользоваться этой формулой, нужно найти третью сторону треугольника. По т.косинусов 
ВС²=АВ²+АС²-2*АВ*АС*cos(60°)
ВС²=25+64-80*1/2ВС²=49
ВС=7
S(АВС)=АВ*АС*sin(60):2=(5*8*√3/)4= 10√3
R=5*8*7:(4*10√3)=7/√3

ответ: а) 16√3 см²; б) 4√3 см²

Объяснение:Диагональ BD перпендикулярна АВ ( дано), СD||АВ ⇒ BD перпендикулярна CD и делит АВСD- на два равных прямоугольных треугольника.

КМ||АD, М - середина ВD ⇒ КМ - средняя линия ∆ АВD, поэтому АD=2КМ=8 см.  

Угол А=60°,  ⇒ АВ=АD•cos60°=4 (см)

   Площадь параллелограмма по одной из формул равна произведению соседних сторон на синус угла между ними:

Ѕ(АВСD)=4•8•√3/2=16√3 (см²)

Т.к ∆ ( АВD)=∆ DCВ, а т.М = середина ВD, отрезок АМ - медиана ∆ АВD и делит его на два равновеликих треугольника. =>

Ѕ(AMD)=S(ABCD):4=16√3:4=4√3см²