Треугольник авс, bd - биссектриса, ав=5, вс=8, угол abc=45°, нужно найти площади abd и bdc

Как известно, биссектриса делит сторону AC на отрезки AD и DC, пропорциональные боковым сторонам, то есть



А поскольку в треугольниках ABD и DBC высоты, опущенные из вершины B, совпадают,



то есть площадь треугольника ABD составляет пять частей, а площадь треугольника DBC - восемь частей площади треугольника abc. Поэтому

ВD - биссектриса и делит угол В на две равные части,  поэтому дуги АD и СD, на которые опираются половины вписанного угла В, равны. 
По условию АD =АС .
Треугольник АСD равнобедренный. ∠ АСD=∠ АDС. 
АС=АD равные хорды и стягивают равные дуги.
Значит, дуга АВС=дуге АD. 
Но ◡АD=◡СD как дуги, на которые опираются равные углы АВD и СВD ⇒
 Точки А, С, D  делят окружность на три равные дуги с градусной мерой 360º:3=120º 
Вписанный угол АВС опирается на дугу АDС=120º*2=240º Вписанный угол равен половине  дуги, на которую опирается. ⇒ 
Угол АВС=240º: 2=120º

Розглянемо трикутник АМС. Сумка кутів трикутника дорівнює 180°, тоді ∠МАС+∠МСА+∠АМС=180°.  

Сума суміжних кутів дорівнює 180°. Кути АMВ i AMC суміжні. Відомо, що  ∠АМВ=117°, отже ∠АМС=180°-117°=63°

Бісектриса ділить кут навпіл отже  ∠ВАС= ∠ВАМ+ ∠МАС=2∠МАС.  

Трикутник АВС  рівнобедрений тому кути при основі рівні тобто ∠ВАС=∠ВСА, отже оскільки  ∠ВАС=2∠МАС, то і  ∠ВСА=2∠МАС

Звідси ∠МАС+2∠МАС+63°.=180°.

3∠МАС=180°-63°

3∠МАС=117°

∠МАС=39°

∠ВАС=∠ВСА= ∠ВАМ+ ∠МАС=2∠МАС=2*39°=78°

∠АВС=180°-78°-78°=24°- за т. про суму кутів трикутника.  

Відпповідь: ∠АВС=24°,  ∠ВАС=∠ВСА=78°

Объяснение: