Через конечную точку A диагонали AC=18, 6 ед. изм. квадрата ABCD проведена прямая перпендикулярно диагонали AC. Проведённая прямая пересекает прямые CB и CD в точках M и N соответственно. Определи длину отрезка MN Длина отрезка MN = ед. изм. .

Если внешний угол при вершине А равен 135 градусов, то внутренний угол А равен 180°-135° = 45°.
Для определения стороны АС воспользуемся теоремой синусов.
Сначала найдём угол С.
sin C = (4*sin 45°)/6√2 = (4*1)/(√2*6√2) = 4/12 = 1/3.
Угол С = arc sin(1/3) =  0,339837 радиан = 19,47122°.
Находим угол В = 180°-45°-19,47122° = 115,5288°.

Сторону АС можно определить двумя
1) - по теореме синусов,
2) - по теореме косинусов.

1) АC = (sinB*6√2)/sin45° = ( 0,902369*6√2)/(1/√2) = 12* 0,902369 =
          =  10,82843.

2) AC = √(4²+(6√2)²-2*4*6√2*cosB) = √(16+72-48√2*( -0,43096)) =
         = √(88+29,2548) = √117,2548 =  10,82843.

Если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны:
AD + BC = AB + CD

Поэтому
AB = AD + BC - CD = 16 + 12 - 15 = 13

Опустим перпендикуляры из точек B и C (см. рисунок). Заметим, что так как у ABCD - трапеция и AD, BC - основания, то полученные высоты равны между собой, обозначим их длину за h. Диаметр вписанной окружности также равен h.

Пусть . Тогда , так как - по построению прямоугольник. AD = 16, поэтому .

Треугольники , прямоугольные, запишем для них теорему Пифагора:




Находим из последнего равенства x:


Итак, x = 5, тогда


ответ. 12