Геометрия 8 класс 1. В прямоугольнике ABCD проведена диагональ АС. Известно, что ∠ВАС в 4 раза больше, чем ∠АСВ. Чему равны эти углы? 2. Одна из сторон прямоугольника на 5 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 18 см. 3. Меньшая сторона прямоугольника равна 12 см, угол между диагоналями равен 60°. Найдите диагонали прямоугольника. 4. В ромбе ABCD проведена диагональ АС, Определите вид треугольника АВС и найдите его углы, если ∠ADC = 130°. 5. В ромбе ABCD ∠ABC = 140°. Найдите углы треугольника АОВ (О — точка пересечения диагоналей

1. ∠BAC=18°;  ∠CAB = 72°.

2. 2 см, 7 см.

3. АС=BD=24 см.

4. 25°, 25°, 130°.

5.  20°, 70°, 90°.

Объяснение:

1.  ∠ACB=x. Тогда ∠BAC=4x.

Сумма углов треугольника равна 180°. Тук как угол В=90°, то

х+4х=90°;

5х=90°;

х=18° - угол BAC;

угол CAB =4x=4*18= 72°.

***

2.  P=2(a+b) = 18 см, где а=х  см, b=x+5 см .

2(х+х+5)=18;

2х+5=9;

2х=4;

х=2 см - меньшая сторона;

Большая сторона  равна х+5=2+5=7 см.

Проверим:

Р=2(2+7)=2*9=18 см. Всё верно!

***

3)  Треугольник АВО - равносторонний АВ=ВО=АО=12 см.

Диагонали в прямоугольнике делятся пополам. Следовательно АС=BD=2*AO=24 см .

***

4.  В ромбе все стороны  и противоположные углы равны. Следовательно треугольник АВС - равнобедренный с углом при вершине 130°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

∠САВ+∠АВС+∠ВСА=180°;

∠ВАС=∠ВСА=(180°-130°)/2=25°.

***

5.  Диагонали в ромбе пересекаются под углом 90° и углы при вершине делит пополам. Следовательно угол ∠АВО =∠АВС/2=140°/2=70°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°:

∠АВО+∠ВОА+∠ОАВ=180°.

∠ВАО=180°-(70°+90°)=180°-160°=20°;

Точка середины стороны AB возьмем за N, а точку середины стороны AC возьмем за M. Тогда MN средняя линия треугольника. Если опустить высоту АН, то она будет перпендикуляра BC и MN. Пересечение высоты со средней линией прими за К. Тогда АК = КН поскольку MN средняя линия. На продолжении MN опустим перпендикуляры из точек C и B, а точки пересечения обозначим соответственно      за Z и X. Тогда ZXCB прямоугольник у которого противолежащие стороны равны.Поскольку КН перпендикулярно CB, то CZ=KH=BX. Тогда вершины равно удалены от прямой.

Построим ромб по стороне a и радиусу вписанной окружности r.

1) AB=a

2) проведем прямую n, параллельную AB, на расстоянии r

Для этого

- построим перпендикуляр к AB

- отложим на нем отрезок MN=r

- через точку N проведем прямую n, перпендикулярную MN

3) построим окружность на отрезке AB как на диаметре

4) пересечение окружности и прямой n = точка O

Угол AOB - прямой, так как опирается на диаметр AB.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Диагонали ромба являются биссектрисами, точка их пересечения - центр вписанной окружности - удалена от стороны AB на радиус.

Таким образом, точка O - центр пересечения диагоналей ромба.

5) построим вершины С и D ромба, симметричные A и B относительно точки O.

Для этого

- проведем прямую BO

- отложим отрезок DO=OB итд