Сторони кута М перетинають паралельні площини альфа і бета в точках A, B i C, D. Обчислити довжину відрізка AB якщо MA=13 см МС=20см і CD=56см

Допустим AB =5 , BC =6 ,   BM =5 ,( AM =MC , M∈[AC] .

AC - ?
Продолжаем медиана и  на ней откладываем отрезок  MD=BE.   Соединяем полученную точку с вершинами.  Полученный  четырехугольник ABCD  параллелограмма. 
Для параллелограмм верно теорема_сумма квадратов диагоналей равно сумму квадратов сторон .AC²+BD² =  2(AB²+BC²)⇒AC²=2(AB²+BC²) - BD²   ||  BD=2BM=10 || 
AC² =2(5² +6²) -(2*5)²=22.
AC =√22.
ответ:  √22.

Или 
Из ΔAMB по теореме косинусов
AB² =AM² +BM² -2AM*BM*cos∠AMB         (1)
Аналогично из ΔCMB ,CB² =CM²+BM² -2CM*BM*cos(180° -∠AMB)    или
CB² =CM²+BM² +2CM*BM*cos∠AMB         (2)
Складывая уравнения (1) и  (2)  получаем :
AB²  +CB²= AM²+CM² +2BM² ;
AB²  +CB²= (AC/2)²+(AC/2)² +2BM² ;
AB²  +CB²= AC²/2 +2BM²  ;
2(AB²  +CB²)= AC² +(2BM)² ;   * * *AC² + BD² =2(AB²  +CB²)  ||   BD=2BM.* * 
AC²  = 2(AB²  +CB²) -(2BM)²

Дано : параллелограмма MNKF (  MF | | NK  , MN  | | FK ) , MO =OK ,                                           O ∈[AB] , A ∈ [NK] ,B∈[MF] .

док.  MAKB  параллелограмма

 Рассмотрим ΔMOB  и ΔKOA :
они равны по второму признаку равенства треугольников , действительно:
∠MOB=∠KOA(вертикальные углы) ;
∠OMB =∠OKA(накрест  лежащие углы) ;
MO =OK (по условию) .
Из равенства этих треугольников следует, что MB = KA, но они и   параллельны
MB | | KA (лежат  на  параллельных прямых  MF и  NK) .
Значит    MAKB параллелограмма  по второму признаку(если противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны  то четырехугольник параллелограмма) .