, решить задачу: Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 см и 3 см, а двугранный угол при ребре большего основания-45°. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. ( с полным объяснением и рисунком )

Пусть  ABCA₁B₁C₁  данная    пирамида ,   M  середина ребра  B₁C₁ (B₁M = MC₁) ; N середина  BC  (BN = NC)  ; MN _ апофема ; < MNA =α=60°.

 Sбок = 3*(a+b)/2*MN =3*(6+2)/2 *MN =12MN =12h  ( замена MN  =h).

Сначала  рассматриваем  равнобедренная (CC₁=B₁B)  трапеция  CC₁B₁B  :  

CB =a =6 см  , C₁B₁ =b=2 см  , MN =h (пока неизвестная ) .

 AA₁ =CC₁= BB₁  .

CC₁² =( (a -b)/2)² +h² = ((6-2)/2)² +h² =h²+4 ;

Теперь рассмотриваем трапеция  AA₁MN :

 AA₁ =CC₁ ; AN =a√3/2 =6√3/2 =3√3 ;A₁M =b√3/2 =2√3/2 =√3;

опустим из вершин A₁  и  M  перпендикуляры   A₁E ┴  AN    и  MF ┴ AN.

Из  ΔMFN :

высота этой трапеции  (собственно высота пирамиды)

 h₁=A₁E = MF  =MN*sinα =h*sinα =h*sin60°=h√3/2   ; NF =MN*cosα = h*cos60°=h/2.

Из  ΔAA₁E:

AA₁²= AE² +A₁E² =(2√3 -h/2)² +(h√3/2)² ;    

 ***AN= AE+EF +FC =AE +A₁M +FC ⇔3√3=AE +√3 +h/2 ⇒AE=2√3 - h/2***

h²+4 =12 - 2√3h+h²/4 +3/4h² ⇒ h =4/√3 .

 Окончательно :

Sбок = 12h =12*4/√3 =16√3 .

ответ : 16√3.

В общем рассмотрели две трапеции  CC₁B₁B и  AA₁MN .

Правильный треугольник:
Берешь раствор циркуля, равный радиусу, втыкаешь циркуль в любую точку на окружности, и отмечаешь 2 засечки на окружности.
Вставляешь циркуль в одну засечку и отмечаешь еще одну дальше.
И так далее. В итоге получаешь правильный 6-угольник.
Берешь точки через одну и получаешь правильный треугольник.

Восьмиугольник.
Рисуешь 2 диаметра, перпендикулярных друг к другу, получаешь квадрат.
Делишь каждую дугу пополам, получаешь правильный 8-угольник.
Чтобы разделить дугу пополам, нужно:
1) Сделать раствор циркуля явно больше половины угла.
2) Воткнуть циркуль в один конец дуги и нарисовать небольшую дугу.
3) Воткнуть циркуль в другой конец дуги и тоже нарисовать дугу.
4) Эти две дуги пересекутся в какой-то точке.
5) Соединяешь центр круга с этой точкой, получаешь биссектрису.
Она делит пополам угол и дугу.

В треугольнике: катеты а и b, гипотенуза  с, прямой угол С,
R - радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности.
Начнём с описанной окружности. Поскольку  угол С прямой, то этот угол опирается на диаметр окружности, т.е. диаметр окружности есть его гипотенуза, и. с = 2R
Теперь вписанная окружность. Опустим из её центра на катеты перпендикуляры, эти перпендикуляры равны r- радиусу вписанной окружности. Два взаимно перпендикулярных радиуса r и отрезки катетов, прилежащих к вершине прямого угла С, образуют квадрат со стороной r.
Тогда отрезки катетов, прилегающих к вершинам острых углов, равны
 (а - r) и (b - r).
Третий перпендикуляр, опущенный из центра окружности на гипотенузу делит её на отрезки, равные (а - r) и (b - r).
Получается, что гипотенуза равна c = a - r + b - r = a + b - 2r.
Но ранее мы получили, что с = 2R
Тогда 2R = a + b - 2r
2R + 2r = a + b
R + r = 0.5(a + b) что и требовалось доказать.