Сума двох кутів паралелограма = 160° знайти більший кут​

  Дан правильный тетраэдр SABC с ребром а. Точки М, К, Р - соответственно середины ребер AS, SC, AB. Установить вид многоугольника, который является сечением тетраэдра плоскостью МКР, определить его периметр.

 Точки М и К - середины сторон ∆ ASC. ⇒ МК- его средняя линия и параллельна АС.   Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой  в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. ⇒ МК║(АВС)

  Если плоскость (РМК) проходит через прямую (МК), параллельную другой плоскости (АВС) и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (РТ) этих плоскостей параллельна данной прямой. => РТ|║МК║АС,  Тогда РТ - средняя линия ∆ (АВС), точка Т - середина ВС, а КТ - средняя линия ∆ SBC.

.Противоположные стороны четырехугольника РМКТ - средние линии равных треугольников (т.к. SABC - правильный тетраэдр),   и равны между собой.⇒ РМКТ - параллелограмм, а  т.к. его стороны  равны  половине длин ребер тетраэдра, РМКТ - ромб. Р(РМКТ)=4•а/2=2 (ед. длины).

  Проведем в РМКТ диагональ РК. Опустим из К перпендикуляр КН на плоскость ∆ АВС.  Плоскость ∆ РSC содержит перпендикуляр  к плоскости АВС - высоту SO тетраэдра, следовательно, перпендикулярна АВС (свойство).  КН⊥РС, точка Н - середина ОС. СН=НО=ОР ( т.к. точка О - точка пересечения медиан треугольника АВС и делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины - свойство). Проекция  диагонали РК четырехугольника МКТР равна РН=2/3 медианы (высоты основания ) РС. . Аналогично доказывается:  дианональ МТ= 2/3 АТ. Диагонали ромба РМКТ равны, ⇒ РМКТ - квадрат.

О1-середина АВ, О-середина BD, значит ОО1-средняя линия ΔABD , AO1OD-трапеция и OO1=AD/2=R

Соединив О1  и О с О2-получим 3 равносторонних треугольника со стороной R, значит AO1OD-равнобедренная трапеция, <O1AD=<ADO=60; AO1=O1O=OD=R=AD/2

Тогда AB=2AO1=2R, значит AD=AB-и ABCD-ромб со стороной , равной P/4=32/4=8; R=AD/2=4

Осталось найти диагонали ромба. ОD=R; BD=2OD=2*4=8

Рассмотрю ΔAOD-прямоугольный т к диагонали ромба перпендикулярны

AO^2=AD^2-OD^2=8^2-4^2=64-16=48; AO=4 корня из 3

Тогда диагональ АС=2АО=8 корней из 3

ответ диагонали 8 и 8 корней из 3