Сумма первой и второй сторон треугольника равна 10 см. сумма второй и третьей сторон равна 12см. сумма первой и третьей сторон равна 8 см. найдите периметр треугольника.

Р - периметр треугольника
Р-10 = третья сторона
Р-12 = первая сторона
Р-8 = вторая сторона

Р-10+Р-12+Р-8 = Р
3Р-Р=30
2Р=30
Р=15 см

Дана правильная четырехугольная пирамида SАВСД, длина бокового ребра которой равна L = 3 см, а стороны основания a =  2√3 см.

Проведём осевое сечение через 2 боковых ребра.

В сечении равнобедренный треугольник АSС с боковыми сторонами L = 3 см и основанием - диагональ квадрата основания d = a√2 = (2√3)*√3 = 2√6 см.

Высота Н пирамиды равна:

Н = √(L² - (d/2)²) = √(9 - 6) = √3 см.

Перпендикуляр из центра основания пирамиды на боковое ребро (пусть это ОК) - это высота треугольника ОSС, она равна (√3*√6)/3 = √2 см.

Искомый угол лежит в перпендикулярном сечении к боковому ребру.

В сечении - треугольник ВКД.

Апофема А = √(3² - (2√3/2)²) = √(9 - 6) = √3 см.

КД - высота, она равна 2S/L = (2*((1/2)*2√3*√6))/3 = 2√2 см.

То есть она как гипотенуза треугольника ОКД в 2 раза больше катета ОК, а угол КДО равен 30 градусов.

Отсюда искомый угол ВКД равен 2*60 = 120 градусов.

1. Линия пересечения плоскости сечения и грани АА1В1В - прямая ВА1. Точки А1 и F1 принадлежат и плоскости сечения и грани FF1A1A, значит прямая А1F1 - линия пересечения плоскости сечения и грани FF1A1A. Линия пересечения плоскости сечения и плоскости основания ABCDEF пройдет по прямой ВЕ, так как две параллельные плоскости (оснований призмы) пересекаются третьей плоскостью (сечения) по параллельным прямым, а в правильной
шестиугольной призме стороны АF и А1F1 параллельны диагонали ВЕ основания. Линия пересечения плоскости сечения и грани EE1F1F - это прямая EF1.
Итак, получено искомое сечение ВА1F1Е.
2. В правильном шестиугольнике внутренние углы равны 120°. Тогда
<ABO=60°, а <BAO=30°. Против угла 30° лежит катет ВО, равный половине гипотенузы АВ. То есть ВО=1. тогда АО=√3.
В прямоугольном треугольнике АОА1 катет АА1=2, катет АО=√3. По Пифагору гипотенуза ОА1=√(4+3)=√7.
Заметим, что искомое расстояние от точки В до прямой А1F1 - это
перпендикуляр ВН, опущенный из точки В на прямую A1F1. Значит ВН=ОА1=√7, так как ОА1 тоже перпендикуляр к А1F1( угол ОАF=<BAF-<BAO или <OAF=120°-30°=90°, то есть ОА перпендикуляр к AF, и А1А - перпендикуляр к АF, а АF параллельна А1F1 и  по теореме о трех перпендикулярах ОА1 - перпендикуляр к A1F1).  Итак, ВН=√7.
ответ: расстояние от точки В до прямой А1F1 равно √7.