Нарисуйте треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки со стороной 1, у которого все стороны длиннее 4, а площадь меньше 1.

В данном треугольнике каждая сторона больше 4, что можно доказать теоремой Пифагора (если рассматривать прямоугольные треугольники, где сторона начерченного является гипотенузой. Один из катетов везде больше или равен 4, другой - больше или равен 1, значит, гипотенуза больше большего, скажем так).

Разберёмся с площадью.
Площадь треугольника находится по формуле , отсюда:
Пусть h - высота, проведённая к большей стороне, a - большая сторона. По теореме Пифагора она равна . Тогда 
Рассмотрим треугольник в системе координат с точкой, лежащей против большей стороны, в начале координат. Найдём уравнение прямой, на которой лежит большая сторона (y=kx+b). , . Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник из высоты и стороны на Oy, равной b. Действительно, если точка лежит на оси Oy, то её координата по x = 0, а значит, её координата y = k * 0 + b = b. В данном случае сторона на Oy будет гипотенузой, а высота - катетом. Следовательно, она меньше гипотенузы. Т. е.  (доказательство того, что , могу провести в комментариях, если потребуется), значит, . Начерченный треугольник удовлетворяет всем условиям.

Вся совокупность неровностей земной коры (рельеф)Часть земной поверхности, высоко приподнятая над равниной и сильно расчлененная (горы)Обширные участки с ровной или холмистой поверхностью (равнины)Каменная оболочка Земли, которую образуют земная кора и верхняя часть мантии (литосфера)Равнина, имеющая высоту от 0-200 метров (низменности)Древний, относительно устойчивый участок земной коры, в основании которого лежит древний кристаллический фундамент, покрытый сверху осадочным чехлом (платформа)Равнина, имеющая абсолютную высоту от 500 метров и выше (плоскогорье)Подвижные неустойчивые участки земной коры (складчатость)Равнина, имеющая абсолютную высоту от 200-500 метров (возвышенность)Наука о движение литосферных плит (тектоника)

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Если на диагоналях ромба от точки их пересечения отложены четыре равных отрезка, то в полученном четырехугольника получится, что диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы четырехугольника пополам (то, что делят углы пополам видно из того, что диагоналями четырёхугольник делится на 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника, у которых катеты -это половина диагоналей, а гипотенуза - сторона четырехугольника; следовательно углы при гипотенузе равны по 45 градусов). Углы полученного четырехугольника - прямые. Все это относится к свойствам квадрата, значит четырёхугольник -квадрат, что и требовалось доказать.