Kp — высота равнобедренного треугольника klm. найдите градусную меру угла klm, если угол pkm = 40 градусов.

Рассмотрим 3 случая:

I. Высота опущена к основанию.
1. Так как KP - высота, то по свойству она и биссектриса, а значит, ∠K = 40° * 2 = 80°
2. По свойству, ∠L = ∠M. Пусть он равен x, тогда по теореме о сумме углов треугольника 2x+80 = 180 ⇒ 2x = 100 ⇒ x = 50°

II. Высота опущена к боковой стороне, ∠L между ними.
1. Рассмотрим ΔKPM - прямоугольный
∠M = 90 - 40 = 50°, тогда ∠K = ∠M = 50°, так как они при основании равнобедренной трапеции
2. По теореме о сумме углов треугольника ∠L = 180 - 2 * 50 = 80°

III. Высота опущена к боковой стороне, ∠L при основании.
1. Рассмотрим ΔKPM - прямоугольный
∠M = 90 - 40 = 50°
2. По свойству, ∠L = ∠K. Пусть он равен x, тогда по теореме о сумме углов треугольника 2x+50 = 180 ⇒ 2x = 130 ⇒ x = 65°

ответ: 50°, 65° или 80°

Введем систему координат: C(0,0), B(0,a), A(b,0), AC=b, BC=a. Середина гипотенузы имеет координаты D(b/2;a/2), середина BC - E(0,a/2). Середина DE - F(b/4,a/2). Центр окружности лежит на прямой, проходящей через F, и перпендикулярной DE. Так как Рассмотрим радиус окружности, который касается AC. Он перпендикулярен AC, но он будет перпендикулярен и DE, значит, точка касания лежит на прямой, проходящей через F перпедикулярно DE, и находится в точке пересечения этой прямой с AC. Координаты этой точки G(b/4;0), значит, точка касания делит катет в отношении 1:3.

 

Возможно, решение слишком сложное, но более простое, к сожалению, на ум не приходит.

Дано:
А(-1;2) , B(5:-6), C(6;4)
Найти: CD
Решение:
1) Т.к. CD - медиана, то точка D будет серединой отрезка AB , поскольку из вершины С к стороне AB идёт отрезок, делящий её пополам. => AD=DB
2) Обозначим на координатной плоскости точки A,B,C с их координатами и соединим их отрезками.
3) найдём длину AB и поделки её пополам, чтобы найти середину отрезка и обозначим точку D
AB = √((5+1)^2 + (-8)^2) = √(36+64) = √100 = 10
D имеет координаты по X суммы B(x) + A(x) , делённое на два и Y суммы B(y) + A(y) , делённое на два. Получается D X= (5-1)/2 ; Y= (-6+2)/2 => D(2;-2)
4) CD = √((6-2)^2 + (4+2)^2) = √(16+36) = √52 = √4*13 = 2√13
ответ: 2√13

К этому решению также приведен чертеж на фотографии.