1.∆abc угол а=45°, угол в=60° , bc=3√2 найти ас

По теореме синусов а/синуса=в/синусв=с/синусс.
Вс/синус а=ас/синусв
Ас=(вс×синус60)/синус 45
Ас=3корня из 3

Меньший катет равен 30 см; высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 45 см.

Объяснение:

Задание

В прямоугольном треугольнике угол А равен 60 градусов, угол С - прямой. Длина гипотенузы равна 60см. Найти длину меньшего катета и длины отрезков, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу.

Решение

1) Угол В равен:

90° - ∠А = 90 - 60 = 30°.

2) Катет АС, который лежит против угла В = 30°, равен половине гипотенузы:

АС = 60 : 2 = 30 см - это меньший катет, так как в треугольнике против меньшего угла лежит и меньшая сторона.  

3) Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, лежит против угла А = 60°, следовательно, угол между этим перпендикуляром и стороной АС равен 30°, и тот отрезок гипотенузы АВ, который примыкает к вершине А, равен половине стороны АС, то есть:

30 : 2 = 15 см.

Это значит, что второй отрезок гипотенузы равен:

60 - 15 = 45 см.

ПРОВЕРКА

Согласно теореме о перпендикуляре, опущенном из вершины прямого угла на гипотенузу: перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная величина между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу, а каждый катет есть средняя пропорциональная величина между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком гипотенузы, то есть должно выполняться равенство:

15 : АС = АС : 60

15 : 30 = 30 : 60

15 · 60 = 30² - значения равны, а это значит, что задача решена верно.

меньший катет равен 30 см;

высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на 2 отрезка - один из них длиной 15 см (примыкает к меньшему катету), а второй - длиной 45 см (примыкает к большему катету).

Точка H1 симметрична ортоцентру H относительно середины стороны AC, HM=H1M

AHCH1 - параллелограмм (т.к. диагонали точкой пересечения делятся пополам), H1C||AA1 => H1C⊥BC, ∠BCH1=90

Аналогично ∠BAH1=90

ABCH1 - описанный (т.к. противоположные углы прямые), BH1 - диаметр.

Доказали свойство:

Tочка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны, лежит на описанной окружности и диаметрально противоположна вершине.

По свойству ортоцентра: H1 на описанной окружности, ∠BAH1=∠BCH1=90

AXHH1 - описанный (т.к. противоположные углы прямые) =>

∠XH1H =∠XAH =∠BAA1

Аналогично ∠YH1H =∠YCH =∠BCC1

∠BAA1 =90-∠B =∠BCC1 => ∠XH1H =∠YH1H

H1H - биссектриса и высота в △XH1Y, следовательно и медиана, XH=HY

Или

А, C1, A1, C на окружности диаметром AC

Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам => H - середина PQ.

Теорема о бабочке:

Через середину хорды PQ проведены произвольные хорды AA1, CC1.

Хорды AC1 и CA1 пересекают хорду PQ в точках X и Y.

Тогда H - середина XY.