Дан прямоугольный треугольник авс с гипотенузой ас. известно, что ∠вас=10°. обозначим через м середину отрезка ас. рассмотрим точку с₁ симметричную точке с относительно прямой вм. найдите угол ∠вс₁а.

XYZ-угол между прямыми XY и YZ Так как M- середина AC , значит  BM=AM=CM (треугольник [BMC]-равнобедренный) , откуда  MBC=ACB=90 гр -BAC=90 гр -10 гр=80 гр. 
Так как C1 симметричная точка к С относительно BM , то  C1BC=2*MBC=160 гр, так как  BC1=BC то  BC1C=(180-160)/2=10 гр , значит BC1C=BAC откуда  BC1AC вписанный четырехугольник  BC1A=180-ACB=180-80=100 гр   
 ответ 100 гр 

Написала на картинке.

1. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Пользуясь этой теоремой, пишем неравенства для сторон шестиугольника.

2. Неравенство для второго вопроса -

PK+KL+LM+MN+NR+PR < PA+KA+DK+DL+LB+BM+ME+EN+NC+RC+PF+FR.

3. Неравенство для третьего вопроса -

2*(PK+KL+LM+MN+NR+PR) < PA+KA+DK+DL+LB+BM+ME+EN+NC+RC+PF+FR+(PK+KL+LM+MN+NR+PR).

4. На картинке.

5. Пользуемся ответами от 3 и 4 задания.Сумма периметров треугольников АВС и DEF равна 16 см (7 см+9 см). Я не знаю, там нужно писать единицы измерения или нет.

Вот такое неравенство в итоге получилось -

2*(PK+KL+LM+MN+NR+PR) < 16 см.

6. Логично, что поделить на 2.

Получаем, что -

2*(PK+KL+LM+MN+NR+PR) < 16 см

PK+KL+LM+MN+NR+PR < 8 см.

Это нам и нужно было доказать!

Для доказательства равенства отрезков следует доказать равенство треугольников, образованных указанными отрезками, высотой равнобедренного треугольника,которая как раз соединяет вершину равнобедренного треугольника и середину основания, и сторонами равносторонних треугольников, построенных на сторонах равнобедренного треугольника.
Доказательство проводится через признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. Стороны равны по условию и построению, а углы равны по условию и по тому, что высота в равнобедренном треугольнике является также и биссектрисой.