Дана окружность с центром o(−4; −6) и радиусом 10. найдите точки пересечения этой окружности с биссектрисами координатных углов.

Окружность с центром О(-4;-6) и радиусом R=10
Уравнение окружности
(x+4)² + (y+6)² = 10²

Биссектриса c - прямая линия, наклонена под углом 45° к оси ОХ, проходит через начало координат.
Уравнение  y = kx + b = tg 45°x + 0 = 1*x   ⇒   y=x
Точки пресечения окружности  (x+4)² + (y+6)² = 10² и прямой y=x
(x+4)² + (x+6)² = 10²
x² + 8x + 16 + x² + 12x + 36 = 100
2x² + 20x - 48 = 0
x² + 10x - 24 = 0
D/4 = 25 + 24 = 49 = 7²
x₁ = -5 + 7 = 2          y₁ = 2
x₂ = -5 - 7 = -12        y₂ = -12

Биссектриса a - прямая линия, наклонена под углом 135° к оси ОХ, проходит через начало координат. 
Уравнение  y = kx + b = tg 135°x + 0 = -1*x   ⇒   y=-x
Точки пресечения окружности  (x+4)² + (y+6)² = 10² и прямой y=-x
(x+4)² + (-x+6)² = 10²
x² + 8x + 16 + x² - 12x + 36 = 100
2x² - 4x - 48 = 0
x² - 2x - 24 = 0
D/4 = 1 + 24 = 25 = 5²
x₁ = 1 + 5 = 6        y₁ = -6
x₂ = 1 - 5 = -4        y₂ = 4

Точки пересечения окружности с биссектрисой 1 и 3 координатных четвертей  A(2;2), B(-12;-12)
Точки пересечения окружности с биссектрисой 2 и 4 координатных четвертей D(6;-6),  F(-4; 4)

Дано: ABCD – прямоугольник, (ABD) ⊥ (CBD), AB = 4 см, ∠AOB = 60°

Найти: AC (после сгиба)

1) До сгиба:

ΔAOB – равносторонний  АО = ВО = 4 см  АС = BD = 2 × 4 = 8 см

2) После сгиба:

ΔBAD (∠BAD = 90°):

По теореме Пифагора: AD = √BD² – AB² = √8² – 4² = √64 – 16 = √48 = 4√3 см

AK = AB × AD / BD = 4 × 4√3 / 8 = 2√3 см = MC

ΔAKB (∠AKB = 90°):

По теореме Пифагора: BK = √AB² – AK² = √4² – (2√3)² = √16 – 12 = √4 = 2 см

BK = MD = 2 см

KM = BD – (BK + MD) = 8 – (2 + 2) = 4 см

ΔKMC (∠KMC = 90°):

По теореме Пифагора: KC = √KM² + MC² = √4² + (2√3)² = √16 + 12 = √28 = 2√7 см

ΔAKC (∠AKC = 90):

По теореме Пифагора: AC = √AK² + KC² = √(2√3)²  + (2√7)² = √12 + 28 = √40 = 2√10 см

Для наглядности привожу рисунок треугольной пирамиды, хотя она может быть какой угодно.

Пирамида SABC;  высота  SO⊥(ABC);  (KMN)║(ABC);  SF:FO = 3:8
  дм²
           
SO = SF + FO = SF + 

ΔSFM  прямоугольный  ∠SFM = 90°
ΔSOB  прямоугольный  ∠SOB = 90°
ΔSFM ~ ΔSOB  по общему острому ∠FSM  ⇒


NM║CB  ⇒ ∠SNM = ∠SCB; ∠SMN = ∠SBC как соответственные углы  ⇒
ΔSCB ~ ΔSNM  по двум равным углам   ⇒
   ⇒
Т.к. фигура в сечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию, подобна основанию, то ΔABC ~ ΔKMN с коэффициентом подобия
k = 
Площади подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате


ответ: площадь основания 363 дм³