Высоты ak и bl в остроугольном δabc пересекаются в точке m. известно, что am : mk = 2 : 1 и bm : ml = 9 : 2 . найти косинус ∠c

1/3

Объяснение:

1. Рисуем ∠ B =45°. Откладываем отрезки ВА=3 см и АD=7 cм
   Через точки В и D проводим паралелльные прямые до пересечения в точке C 
2. Рисуем прямой угол A
   Откладываем на сторонах угла отрезки равные 4 и 8 см
   АВ=4 см
   ВD= 8 cм
   Проводим перпендикуляр из точки D.
   Строим отрезок DC= 4 cм
Соединяем В и С

3, Проводим две взаимно перпендикулярные прямые. 
   Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам. Откладываем от точки пересечения отрезки 4 и 4 влево и вправо и 2 и 2 вверх и вниз.
См. рисунок

Решение задачи:

решение
пусть в выпуклом четырехугольнике abcd
ав + cd =вс +ad. (1)
точка о пересечения биссектрис углов а и в равноудалена от сторон ad, ав и вс, поэтому можно провести окружность с центром о, касающуюся указанных трех сторон (рис. 238, а). докажем, что эта окружность касается также стороны cd и, значит, является вписанной в четырехугольник abcd.

предположим, что это не так. тогда прямая cd либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. рассмотрим первый случай (рис. 238, б). проведем касательную c'd', параллельную стороне cd (с' и d' точки пересечения касательной со сторонами вс и ad). так как abc'd' описанный четырехугольник, то по свойству его сторон

но вс' =вс -с'с, ad' =ad - d'd, поэтому из равенства (2) получаем:

правая часть этого равенства в силу (1) равна cd. таким образом, приходим к равенству

т.е. в четырехугольнике ccdd' одна сторона равна сумме трех других сторон. но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно. аналогично можно доказать, что прямая cd не может быть секущей окружности. следовательно, окружность касается стороны cd, что и требовалось доказать.