Дано: ∆abc, ab=21, ac=10, bc=17, ac принадлежит α. двугранный угол baco равен 60°, aoc — проекция треугольника abc на плоскость α. , найдите площадь ∆aоc. (рисунок пож-та)

Надо вспомнить:
Площадь ортогональной проекции равна площади проектируемой фигуры умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
В нашем случае:
ΔАВС - проектируемый треугольник
Δ АОС - проекция треугольника АВС
угол ВАСО - угол между плоскостями

S(AOC)=S(ABC)·cos60°
Осталось найти площадь треугольника АВС. Это можно сделать при формулы Герона. 
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=84

S(AOC)=84·0,5=42

Решение на фотографии в приложении

L=2πr/360*α, где α - градусная мера угла.по порядку ответы 0.09π                                    1.81π                                      0.23π                                    0.28π (все с округлениями)

1. Фигура ABCK - параллелограмм. ( AB || CK, BC || AD => BC || AK ). Значит BC = AK = 8 см (по определению параллелограмма). Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. В нашем случае основания: BC = 8 см, AD = AK + KD = 14 см. Тогда средняя линия равна (BC + AD)/ 2 = (8 + 14)/2 = 11 см.

 

2. Проведем вторую высоту из точки С к стороне AD. Получаем выосту CM.  СM || BK, BC || KM => KBCM - параллелограмм ( в нашем случае он также явлется прямоугольником ). Значит BC = KM = 12 см. Так как трапеция равнобедренная => АК = MD. AK + MD = AD - BC = 28 - 12 = 16. AK = 16 / 2 = 8 см.

 

3. Рассмотрим треугольник ABD - прямоугольный. ( по условию угол B = 90° ) Угол A = 65°. Сумма углов в треугольнике всегда равна 180°, значит угол D = 180 - 65 + 90 = 25°. BC || AD, BD - секущая.  Угол BDA = углу DBC = 25° ( накрест лежащие ). Треугольник ВСВ - равнобедренный ( BC = CD по условию) значит углы при основании равны => угол DBC = углу CDB = 25°. Так как сумма углов в тр-ке всегда равна 180° => угол С = 180 - 25 + 25 = 130°. Выходит угол А = 65 °, угол B = 90 + 25 = 115°, угол С = 130°, угол D = 25 + 25 = 50°.

 

P.S: давно не решал планиметрические задачи, могу намудрить, так что лучше проверьте решение на всякий случай :)