На плоскости из вершины развернутого угла проведены 3 различных луча, принадлежащие одной полуплоскости. сколько получится углов меньше 180 градусов?

Получится 9 углов, которые меньше 180

 Пусть M- cередина АС, N - середина АВ. Продолжим ВМ на расстояние ВМ, получим Q, продолжим CN на расстояние CN, получим Р. 
Рассмотрим четырехугольник APBC, в нем диагонали РС и АВ точкой пересечения N делятся пополам, значит, это параллелограмм (признак такой), значит АР параллельна ВС (определение параллелограмма). 
Рассмотрим четырехугольник ABCQ, в нем диагонали AС и ВQ точкой пересечения M делятся пополам, значит, это параллелограмм (признак такой), значит АQ параллельна ВС (определение параллелограмма). 
Итак, в точке А проведены две прямые АР и АQ, параллельные ВС. По 5 постулату Евклида (аксиома параллельности) через точку вне прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной, значит, точки А, Р,  Q лежат на одной прямой

Теорема - это высказывание, истинность которого необходимо доказать.

В теореме можно выделить 3 части:

1) преамбула. В ней описываются множества, относительно которых задана теорема. Это области определения высказывания А и высказывания В.

2) условия теоремы. Это предложение А или то что дано в теореме.

3) заключение теоремы. Это предложение В или то что нужно доказать в теореме.

Различают 4 вида теорем:

1. Данная теорема. Например: вертикальные углы равны. Если углы вертикальные, то они равны.

2. Теорема обратная данной. Например: если углы равны, то они вертикальные (данная теорема - ложна).

3. Теорема противоположная данной - Если углы не вертикальные, то они не равны (данная теорема ложна).

4. Теорема противоположная обратной - Если углы не равны, то они не вертикальные. (Истинная теорема)