Даны 2 отрезка a и b постройте отрезок x=a^2/b

Поскольку х=а²/в, то а²=вх, то есть а может служить высотой прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе.
Шаг 1. Постройте отрезок ОС длиной в см.
Шаг 2. От точки О постройте отрезок ОВ длиной а см перпендикулярно к ОС.
Шаг 3. От точки В постройте прямую ВР, перпендикулярную к ВС.
Шаг 4. Точку пересечения прямой ВР с прямой ОС обозначте через А.
Шаг 5. Отрезок АО - искомый.

Из условия, что четыре ребра куба параллельны диагонали основания пирамиды, делаем вывод: вершины основания куба лежат на осях основания пирамиды, а 4 других вершины куба лежат на апофемах пирамиды.

Проведём осевое сечение пирамиды через 2 противоположные апофемы.

Куб рассечётся по диагонали, его сечение - прямоугольник. Пусть высота его равна "х", ширина как диагональ равна "х√2".

Из подобия треугольников сечения составим пропорцию:

(9 - х)/(х√2/2) = 9/2.

9х√2 = 36 - 4х,

х(4 + 9√2) = 36,

х = 36/(4 + 9√2) ≈ 2,152090371 .

ответ: длина ребра куба примерно равна 2,15.

1) Первый пункт задачи должен быть сформулирован так:

докажите, что все вершины четырехугольника АВСD лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВD пересекаются.

Воспользуемся теоремой: через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и при том только одну.

Даны две пересекающиеся прямые АС и ВD. Проходящую через них плоскость обозначим α.

Прямая АС лежит в плоскости α, значит А∈α и В∈α.

Прямая ВD лежит в плоскости α, значит В∈α и D∈α.

Точки А, В, С, D принадлежат плоскости α, т.е. все вершины четырехугольника АВСD принадлежат плоскости α.

Что и требовалось доказать.

2) Рисунок к задаче прикреплен. Дан четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны и известны длины этих диагоналей (смотри рисунок).

Воспользуемся формулой для вычисления площади четырехугольника по двум диагоналям и углу между ними.

, где – диагонали четырехугольника, – угол между диагоналями.

ответ: площадь АВСD равна 60 см².