Угол между диагональю боковой грани правильной треугольной призмы и другой боковой гранью равен 30°. найти объём призмы, если сторона её основания равна 6 см.

Я там не написал что против угла в 30 градусов лежит половина гипотенузы, ну собственно пофиг

1) Из ΔАВС:  <C=90, <B=30, <A=180-90-30=60. 
найдем гипотенузу АВ=АС :cos A=1: 1/2=2
катет ВС=√АВ²-АС²=√4-1=√3
Т.к. СD - медиана, то АD=DB=AB/2=2/2=1
2) Рассмотрим Δ ADC, в нем AC=AD=1, значит он равнобедренный и углы при основании равны: <ACD=<ADC=(180-<CAD)/2=(180-60)/2=60.
Все 3 угла равны по 60 градусов, значит Δ ADC -равносторонний AC=AD=DC=1
3) Рассмотрим Δ СDВ, в нем   CD=DB=1, <DCB=<DBC=30,
тогда <CDB=180-30-30=120. 
4) Рассмотрим Δ СDF, в нем  <CDF=120-<BDF=120-15=105.
<CFD=180-<DCB-<CDF=180-30-105=45.
По теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, значит
CD/sin 45 =DF/sin 30=CF/sin 105
DF=CD*sin 30/sin 45=1*1/2 / (√2/2)=1/√2
Площадь ΔCDF S=1/2*СD*DА*sin 105=1/2*1*1/√2*(√6+√2)/4=(√3+1)/8
sin 105=sin(60+45)=sin60cos45+cos60sin45=√3/2*√2/2+1/2*√2/2=(√6+√2)/4

 .Диагональ равнобокой трапеции равна α (альфа) и составляет угол 15° с основанием. Найти площадь трапеции.

Для решения данной задачи нужны в основнои   рассуждения.  
В равнобокой трапеции диагонали равны и каждая составляет с основанием одинаковый  угол.
Из вершины С проведем параллельно диагонали BD   прямую до пересечения с продолжением АD.
Обозначим точку пересечения Е.
Четырехугольник ВСЕD -  параллелограмм, т.к. противоположные стороны параллельны, и СЕ равно BD .
Следовательно, DE=ВС, и
АЕ - равна сумме оснований. 
Площадь трапеции  АВСD равна половине произведения ее высоты  СМ на  АЕ - сумму оснований. 
Площадь равнобедренного треугольника  АСЕ равна половине произведения его высоты на АЕ.  
Высота трапеции и треугольника общая.
Площади данной трапеции и площадь получившегося треугольника равны. Опустим из С высоту СМ и отложим на  её продолжении  отрезок МР,  равный СМ. 
Соединив А и Р, получим равнобедренный треугольник АСР , т.к. треугольники АСМ и АМР равны по двум сторонам и  прямому углу при М между ними. 
В треугольнике АСР угол при вершине А равен 30 градусам ( 15+15). 
Из С опустим на сторону АР высоту СН.
Её длина, как длина катета, противолежащего углу 30 градусов, равна половине АС и равна α/2
S Δ АСР равна АР*СН:2=α·α/4=α²/4
Треугольник АСР равен треугольника СМЕ, и площадь треугольника АСР равна площади треугольнка АСЕ, т.е. равна площади трапеции. 
ответ: Площадь трапеции равна  α²/4