100 ! ! две стороны треугольника равны 10 и 15 см. если высота, проведенная к стороне 10см, равна 6см, то чему равна высота, проведенная к стороге 15см?

Если высота, проведенная к стороне 10см,равна 6см,то площадь треугольника равна S=(1/2)*10*6 = 30см².
Но с другой стороны площадь этого треугольника равна:
S=(1/2)*15*X, отсюда Х=60/15=4см.
ответ: высота, проведенная к стороне 15см, равна 4 см.

Рискну, все-таки, представить решение.
Возьмем произвольную точку С на окружности (O;R).
Треугольник АВС - прямоугольный, так как опирается на диаметр.
Точка J -  центр вписанной в этот треугольник окружности - лежит на пересечении биссектрис углов треугольника АВС.
Проведем прямую СJ до пересечения с описанной  окружностью (O;R).
Точка пересечения D - конец диаметра, так как вписанный
<DCB=45° и центральный угол DОВ=90° (при любом положении точки С, исключая точки А и В, так как в этом случае треугольник АВС вырождается).
Заметим, что <AJD=(<A+<C)/2, как внешний угол треугольника ACJ.
Проведем прямую АJ до пересечения с описанной  окружностью (O;R).
<BAC1=(1/2)*<A, <DAB=(1/2)*<C (вписанный, опирающийся на одну дугу, что и <DCB). Значит <DAC1=<DAJ=(<A+<C)/2, треугольник DAJ равнобедренный и АD=DJ.  И это, как уже отмечалось, при ПРОИЗВОЛЬНОМ положении точки С на окружности, исключая точки А и В.
Следовательно, точка J описывает дугу окружности радиуса R√2 c центрами в точках D и E ( в зависимости от расположения точки С относительно диаметра АВ).

меньший катет АС=6см, больший катет ВС=12√3 см

Объяснение:

обозначим вершины треугольника А В С с прямым углом С катетами АС и ВС и гипотенузой АВ. Проекции катетов на гипотенузу образует высота СН проведённая из вершины прямого угла, поэтому СН перпендикулярно АВ. СН также делит ∆АВС на 2 прямоугольных треугольника АСН и СВН в которых АН, ВН, СН - катеты, а АС и ВС - гипотенузы. Он подобны между собой, так как высота проведённая из вершины прямого угла делит его на прямоугольные треугольники подобные между собой и каждый из них подобен ∆АВС. АВ=АН+ВН=6+18=24 см. Рассмотрим ∆АСН и ∆АВС. В ∆АСН АС является гипотенузой, а в ∆АВС - гипотенуза АВ, поэтому гипотенуза АС~ гипотенузе АВ. А также меньший катет ∆АСН АН~ АС(меньшему катету ∆АВС:

теперь подставим наши значения в эту пропорцию:

перемножим числитель и знаменатель соседних дробей между собой крест накрест и получим:

АС ²=6×24=144

АС=√144=12см

Теперь найдём катет ВС по теореме Пифагора:

ВС²=АВ²–АС²=24²–12²=576–144=432=12√3см