Подскажите теорему, о точках каждой из двух параллельных прямых.

Капец это же так легко, подумай! В книге наверное написано.

1.Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. ∆MON- прямоугольный. (рис.1)

По свойству катета, противолежащего углу 30°, катет МО равен половине гипотенузы.           

Следовательно, гипотенуза ON=2 МО=10 см.   

                          * * * 

2. Пусть данный треугольник АВС, АВ=СВ. (рис.2)

Проведем  высоту ВН. 

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию,  является его медианой и биссектрисой. 

Поэтому АН=СН=10, ∠АВН=∠СВН. 

Прямоугольные ∆ АВН и ∆ СВН равны по всем признакам равенства треугольников. 

По т.Пифагора ВН=√(АВ²-АН²)=√144=12 (см)

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на сторону, к которой проведена. 

S ∆ ABC=ВН•AC:2=12•10:2=60 см²

Для построения куба, симметричного данному относительно точки О проводим прямые через эту точку и вершины данного куба, откладывая затем на этих прямых отрезки, равные отрезкам от вершины до точки О и получаем вершину симметричного куба.Точка О является серединой диагонали АА' общей части двух кубов - значит эта точка - центр общего "кубика".  Треугольники АС1С и АA'A" подобны с коэффициентом подобия 2:5 (так как АО=ОА' по построению,  а АО:АС1=1:5 по условию).Значит сторона общего "кубика" равна 2, а площадь полной поверхности этого "кубика" равна 6*2²=24 ед².