Докажите признак параллелограмма по точке пересечения диагоналей

Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники AOD и COB.

AO=OC 

BO=OD 

∠AOD=∠COB (вертикальные)

Значит, треугольники AOD и COB равны (по двум сторонам и углу между ними). 

∠ADO=∠CBO (если треугольники равны, то и соответствующие углы тоже равны). Эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых AD и BC и секущей BD.

AD∥BC (по признаку параллельных прямых)

AOB=COD, ∠ABO=∠CDO и AB∥CD (аналогично треугольникам AOD и COB.

Доказали, что AD∥BC и AB∥CD

Значит, ABCD — параллелограмм (по определению)

"Точка D симметрична точке относительно стороны FK" 
Это означает, что если перегнуть плоскость по прямой FK то точка D и O совпадут. Соединим точку D с точками F и K , отрезки DF=FO=OK=KD
тк FO = OK (это одно из свойств диагоналей прямоугольника), DF=FO тк точка D является симметричной точке О относительно прямой FK, и отрезки проведенные из какой-то точки этой прямой к точкам D или F будут равны. А так как у ромба все стороны равны , то фигура FOKD - РОМБ.
Периметр. 
Диагонали ромба равны 8 см и 6 см (по причине симметрии двух точек Д и О)
Формула диагоналей через сторону и другую диагональ D-большая диагональ  d-меньшая диагональ 


Возведу всё в квадрат


P=4a=4*5=20

"Точка D симметрична точке относительно стороны FK" 
Это означает, что если перегнуть плоскость по прямой FK то точка D и O совпадут. Соединим точку D с точками F и K , отрезки DF=FO=OK=KD
тк FO = OK (это одно из свойств диагоналей прямоугольника), DF=FO тк точка D является симметричной точке О относительно прямой FK, и отрезки проведенные из какой-то точки этой прямой к точкам D или F будут равны. А так как у ромба все стороны равны , то фигура FOKD - РОМБ.
Периметр. 
Диагонали ромба равны 8 см и 6 см (по причине симметрии двух точек Д и О)
Формула диагоналей через сторону и другую диагональ D-большая диагональ  d-меньшая диагональ 


Возведу всё в квадрат


P=4a=4*5=20