Точка q - центр окружности, касающейся стороны bc и продолжении сторон ab и ac треугольника abc, точка o - центр окружности w, описанной около треугольника bqc. а) докажите, что точка o лежит на окружности, описанной около треугольника abc б) найдите косинус угла bac, если радиус окружности w, относится к радиусу окружности, описанной около треугольника abc, как 4: 3

А). Цитата: "Существование и единственность вневписанной
окружности обусловлены тем, что биссектрисы двух внешних углов
треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими
двумя, пересекаются в одной точке, которая и является центром
такой окружности".
В треугольнике АВС <ABC+<BCA=180°-<A.
<ABC=180°-<CBP,  <BCA=180°-BCK - как пары соответственно смежных
углов.
Окружность (Q;R) - вневписанная окружность треугольника АВС по
определению (из условия). Следовательно, BQ и СQ - биссектрисы углов <CBP и <BCK соответственно.
Тогда <BQC=180°-(1/2)*(CBP+BCK)=180°-(1/2)*(360°-<ABC-<BCA). Или
<BQC=(1/2)*(<ABC+<BCA).
Но <BQC - вписанный угол, опирающийся на дугу ВС, а
<BOC- центральный угол, опирающийся на ту же дугу.
<BOC=2*<BQC = <ABC+<BCA = 180°-<A.
Тогда в четырехугольнике АВОС сумма противоположных углов
<А+<BOC=<A+180°-<A = 180°. Значит около этого четырехугольника
можно описать окружность и при том только одну.
Следовательно, окружности, описанные около треугольника АВС и
четырехугольника АВОС - одна и та же окружность и точка О лежит
на этой окружности, что и требовалось доказать.

б). Пусть R/r=4/3.  r=(3/4)*R.
<А+<BOC= 180° (доказано выше).
CosA = -Cos(180-A) = -Cos(BOC).
ВС - общая хорда пересекающихся окружностей.
По теореме косинусов из треугольника ОВС:
BC²=2R² - 2R²Cos(BOC)=2R²+ 2R²CosA=2R²(1+CosA) . (1)
Bз треугольника AВС:
<BJC - центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и <BAC.
<BJC=2<A.
BC²=2r² - 2r²Cos(BJC)=2r²(1-Cos2A) . (2)
Приравняем (1) и (2):
2R²(1+CosA)=2r²(1-Cos2A)  или
2R²(1+CosA)=2(9/16)R²(1-Cos2A)  или
(1+CosA)=(9/16)(1-Cos2A).
По формуле приведения Cos2A= 2Cos²A-1, тогда
1+CosA=(9/16)(1-2Cos²A+1) => 1+CosA=(9/8)(1-Cos²A).
Пусть CosA= Х, тогда:
8+8Х=9-9Х²  или
9Х²+8Х-1=0
Х1=(-4+√(16+9))/9 = 1/9.
Х2=-1 - не удовлетворяет условию, так как <A > 0.
ответ: CosA=1/9.

1)x^2+9y^2-9=0

(x/3)^2+y^2=1 - каноническое уравнение эллипса
полуоси 3 (вдоль оси х)  и 1 (вдоль оси у)
F1 и F2 - фокусы эллипса, расположены на оси х, так как полуось вдоль х длиннее
фокусное расстояние с=корень(3^2-1^2)=2*корень(2)

F1=(-2*корень(2);0)
F2=(2*корень(2);0)

2)9x^2+25y^2-1=0
(x/(1/3))^2+(y/(1/5))^2=1 - каноническое уравнение эллипса
полуоси 1/3 (вдоль оси х)  и 1/5 (вдоль оси у)
F1 и F2 - фокусы эллипса, расположены на оси х, так как полуось вдоль х длиннее
фокусное расстояние с=корень((1/3)^2-(1/5)^2)=4/15=0,2(6)
F1=(-4/15;0)
F2=(4/15;0)

Радиусом описанной окружности в данном случае будет половина гипотенузы прямоугольного треугольника. Так как вписанный в окружность прямой угол опирается на диаметр этой окружности. Ищем гипотенузу по известной теореме ПифагораAB=16R=AB/2R=8
№4Точка С1 симметрична точке С относительно D. Точка М1 (само собой) симметрична точке М относительно AD.
Угол АС1D равен вписанному углу MM1A, опирающемуся на дугу АМ, а дуга АМ равна дуге АМ1. Поэтому угол М1РА равен углу АС1D (или просто углу С треугольника АВC), и треугольники АМ1Р и АС1В подобны (у них все углы равны)
Отсюда AP/AM1 = AC1/AB; 
8/6 = x/9; 
x = 12;