Решить. желательно с подробным описание что и зачем

Задачу можно решить с простейшим рисунком,  советую сделать его.
Если два отрезка пересекаются в их общей середине, значит, каждый из них точкой пересечения делится пополам. Обозначим эту точку буквой М.
Соединив свободные концы А иС, В и D отрезков, получим 2 равных теугольника

СМА и ВМD. Они равны по первому признаку равенства треугольников ( если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, то эти треугольники равны).

У этих треугольников равны стороны ( по половине отрезков в каждом) и вертикальный угол. Отсюда следует, что у них равны углы, лежащие против равных сторон.Равные углы при С и D являются в то же время накрестлежащими при пересечении двух прямых АС и ВD третьей (СD). Поэтому прямые АС и ВД параллельны.

На основании только этих данных доказать подобие трапеций невозможно. 

Нарисуем две  трапеции по данному в задаче условию. 

Сходственные yглы, причем не только два данных, но и все, в трапециях могут быть равны. 

Но если основания разныой длины, - а в задаче об этом ничего не сказано,-  трапеции подобными не будут. В подобных фигурах пропорциональными должны быть все сходственные стороны и не только стороны.

 В подобных многоугольниках пропорциональны  все  линейные элементы.

Во вложенном рисунке, где проведена дополнительно  сторона KK'=CD, это ясно видно. Хотя по 2 угла равны  и боковые стороны трапеций   ABKK' и A'B'C'D' пропорциональны, трапеции не подобны, так как основания в них не пропорциональны. 

Трапеции ABCD A'B'C'D' подобны, если пропорциональны их основания в дополнение к данным условия задачи.