Найдите с точностью до 1 дм^{2} площадь равнобедренной трапеции в которой : а) большее основания равно 30 дм, боковая сторона -10 дм, а угол при большем основании - 56 ° б) меньшее основания равно 20 дм, высота - 15 дм, а уголь при большем основании -34°

А) Пусть дана равнобедренная трапеция АВСД, где АД=30 дм, АВ=СД=10 дм, ∠А=∠д=56°.
Найти S.

Проведем высоты ВН и СК.
Найдем АН из ΔАВН.  ∠АВН=90-56=34°
По теореме синусов   sin 90°\AB=sin 34°\AH
AH=10*0,5592=5,6 дм; КД=АН=5,6 дм.
Найдем высоту ВН по теореме Пифагора:
ВН²=10²-5,6²=100-31,36=68,64;  ВН=8,3 дм.
ВС=АД-АН-КД=30-5,6-5,6=18,8 дм.
S=(ВС+АД):2*ВН=(18,8+30):2*8,3=203 дм²
ответ: 203 дм²

б) Пусть дана трапеция АВСД - равнобедренная, ВС=20 дм, ВН=15 дм, ∠А=∠Д=34°
Найти S.

Проведем высоты ВН и СК=15 дм.
Найдем АВ из ΔАВН.
sin34°\15=sin90°\АВ; АВ=15\0,5592=27 дм.
АН²=АВ²-ВН²=729-225=504;  АН=22,4 дм
АН=КД=22,4 дм
АД=22,4 + 20 + 22,4 = 64,8 дм

S=(20+64,8):2*15=636 дм²
ответ: 636 дм²

A)
h = 10*sin(56°)
z = 10*cos(56°)
b = a - 2*z = 30 - 20*cos(56°)
S = 1/2(a+b)*h
S = 1/2(30+30 - 20*cos(56°))*10*sin(56°)
S = (30 - 10*cos(56°))*10*sin(56°)
S = 100(3 - cos(56°))*sin(56°)
S ≈ 202,3521 ≈ 202 дм
б)
h/z = tg(34°)
z = h/tg(34°) = 15/tg(34°)
a = b + 2*z = 20 + 30/tg(34°)
S = 1/2(a+b)*h
S = 1/2(20 + 30/tg(34°) + 20)*15
S = (20 + 15/tg(34°))*15
S = 75(4 + 3/tg(34°))
S ≈ 633,5762 ≈ 634 дм

3. 1. Неверно. В равнобедренном треугольнике могут совпадать высота и медиана только из одной вершины. Из всех вершин они совпадают только в равностороннем треугольнике. 

3.2. Верно. Если биссектриса делит противоположную сторону на равные отрезки, то она еще и медиана. Такой треугольник равнобедренный. 

3.3. Верно. В равностороннем треугольнике высоты и биссектрисы, проведенные из каждой вершины, совпадают. 

4. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Следовательно, FО - биссектриса. 

___

5.  Если АF=FC, то BF- еще и медиана. Высота и медиана совпадают в равнобедренном треугольнике.⇒ ВС=ВА=7 см.

6. EF = FK, BF – высота⇒

  Треугольник КВЕ равнобедренный. Решения нет, по одной только высоте найти основание треугольника нельзя. 

7. Основание равно разности между периметром и суммой боковых сторон. 12-(5+5)=2 см.

наиболее подробный

Соединим центр О с А, В, С, Д.

∆ АОВ и ∆ СОД - равнобедренные ( боковые стороны - радиусы). 

Проведем из  О высоту ∆ АОВ, точку пересечения  с АВ обозначим М, с СД - Н. 

Отрезок ОМ ⊥СД - как секущая, образующая равные накрестлежащие (  и соответственные) углы при пересечении параллельных прямых.

 В равнобедренном треугольнике высота является медианой и биссектрисой. ⇒

АМ=ВМ; СН=ДН.

∠МОД=∠МОС; ∠АОМ=∠ВОМ⇒

∠МОД -∠АОМ= ∠АОД

∠МОС - ∠ВОМ=∠ВОС

Если из равных величин вычесть по равной величине, оставшиеся части - равны. ⇒

∠АОД =∠ВОС - эти углы - центральные. 

Равные центральные углы опираются на равные дуги. ⇒

◡АД=◡СД, что и требовалось доказать. 

Соединим А и Д, В и С. 

Четырехугольник АВСД имеет две параллельные стороны, ⇒ является трапецией. 

В окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. 

Следовательно. хорды АД и ВС равны.

Равные хорды стягивают равные дуги. ◡АД=◡СД, ч.т.д.

как дополнение к

Т.к. в равнобедренной трапеции диагонали равны, они при пересечении образуют два равнобедренных подобных треугольника, и тогда  углы  АСД и ВДС равны, а равные вписанные углы опираются на равные дуги. ⇒

◡АД=◡СД, ч.т.д.