Продолжение боковых сторон ав и сd трапеции abcd пересекаются в точке к. найдите площадь трапеции abcd, если известно, что bc: ad=3: 5, а площадь треугольника вск равна 27см^2

Площадь трапеции ABCD=площадь треугольника AKD-площадь треугольника ВКС
Δ AKD подобен Δ ВКС (∠К-общий, ∠КВС=∠KAD как соответственные)
BC:AD=BK:AK     3:5=BK:AK    AK=5BK/3
BC:AD=KC:KD     3:5=KC:KD  KD=5KC/3
площадь Δ ВКС=(ВК·КС·sin∠K)/2
площадь ΔAKD=(AK·KD·sin∠K)/2=(5BK/3·5KC/3·sin∠K)/2=
25/9·((BK·KC·sin∠K)/2)=25·27/9=25·3=75 см²
площадь трапеции ABCD=75-27=48 см²

1. Строим перпендикуляр к прямой "а" - одной стороне искомого угла. Для этого отметим на прямой "а" точки А и В и раствором циркуля, равным больше половины отрезка АВ, проводим окружности с центрами в точках А и В. Соединяем точки пересечения окружностей С и D прямой. Угол СОВ равен 90°.
2. Разделим угол СОВ пополам.  Для этого циркулем из вершины О на сторонах угла отложим равные отрезки ОВ и ОЕ . Затем проводим окружности с центрами в точках В и Е равных радиусов, которые пересекутся в точке F. Прямая, соединяющая O и F делит угол COB пополам.  Угол FOB = 45°.
3. Точно так же делим угол СOF пополам. Получаем угол QOF=45°:2=22°30'.
QOB=<QOF+<FOB=22°30'+45°=67°30', что и надо было построить.

512√3 см²

Объяснение:

Выполним рисунок. Дан ромб АБСД, диагональ АС=32√3, диагональ ВД, т.О - точка пересечения диагоналей.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Значит, найдём его диагонали.

1 вариант решения

Рассмотрим ΔАВД.

Он - равносторонний.

Докажем это утверждение. АВ=АД как стороны ромба, значит ΔАВД-равнобедренный с основанием ВД и равными ∠АВД=∠АДВ.

∠АВД=60°, т.к. диагональ ромба ВД, является также и бисектрисой ∠АВС=120°. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°, значит ΔДАВ=180-60-60=60°. Все три угла равны, значит доказано, что ΔАВД - равносторонний.

Тогда ВД=АВ=АД.

Т.к. у ромба все стороны равны и их 4, то длина стороны ромба равна периметру ромба, делённому на 4: 128/4=32 см.

Тогда площадь ромба АВСД: АС*ВД/2 = 32√3 * 32 / 2 = 512√3 см².

2 вариант решения.

Рассмотрим ΔАВО.

Он - прямоугольный с

гипотенузой АВ, равной стороне ромба,

∠ВОА=90° т.к. диагонали ромба пересекаются под прямым углом

и катетами АО и ВО, равными соответственно половинам диагоналей АС и ВД, т.к диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам,

∠АВО=60°, т.к. диагональ ромба ВД, является также и бисектрисой ∠АВС=120°.

Найдём ВО. Эту величину можно найти 2-мя путями.

ВО=АВ*cos∠ABO = Р/4 * cos 60° = 32 * 0.5 = 16 см  или

ВО=АО*ctg∠ABO = 16√3 * 1/√3 = 16 см.

Тогда площадь ромба АВСД: АС*ВД/2 = 32√3 * 16 * 2 / 2 = 512√3 см².

Наличие такого количества решений возникло по причине избыточности условия. Эту задачу можно было бы решить не зная величины периметра ромба, либо без длины диагонали. Ключевое условие здесь, это значение угла , равное 120°.