Площадь треугольника равна 64 см в квадрате . одна из сторон в два раза больше высоты , опущенной на нее . найдите эту сторону.

S тр. = 1/2a • h
h = x, a = 2x
64 = 1/2 • 2x • x = x^2
x = √64 = 8
a = 8 • 2 = 16 см.

Все грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.

Двугранный угол DABD₁ - это угол между плоскостями DAB и ABD₁.

АВ - ребро двугранного угла.

DA⊥AB как стороны квадрата,

DA - проекция наклонной D₁A на плоскость DAB, значит

D₁A⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.

DA⊥AB и D₁A⊥АВ,, значит ∠D₁AD - линейный угол двугранного угла D₁ABD.

ΔADC: ∠ADC = 90°, по теореме Пифагора

AD = √(AC² - CD²) = √(100 - 36) = √64 = 8 дм

ΔD₁AD: ∠D₁DA = 90°, DD₁ = AA₁ = 8√3 дм, AD = 8 дм,

tg∠D₁AD = D₁D / AD = 8√3 / 8 = √3

∠D₁AD = 60°

1)
∠ADB=∠CDB (DB - биссектриса)
∠ADB=∠CBD (накрест лежащие при AD||BC)
∠CDB=∠СBD, △BCD - равнобедренный, биссектриса CE является высотой, CE⊥BD
Биссектриса DB является высотой, △CDE - равнобедренный, CD=DE

2)
Описанный параллелограмм является ромбом.
Диагонали ромба являются биссектрисами углов, стороны равны.

MN - перпендикуляр на AB.
Точка M лежит на биссектрисе, равноудалена от сторон угла, MN=MH=6.
△BMN - египетский треугольник (3:4:5), множитель 2, BN=4*2=8
△ABH~△MBN (прямоугольные, ∠B - общий), k=BH/BN=16/8=2
AB=BM*k= 10*2=20
S=AB*BH=20*16=320

ИЛИ

По теореме о биссектрисе
AB/BM=AH/MH <=>
AB/10=AH/6 <=> 
AH=3/5 *AB

AB^2= AH^2 +BH^2 <=>
AB^2= 9/25 *AB^2 +16^2 <=>
16/25 *AB^2 =16^2 <=>
AB =√(25*16) =20

S= AB*BH =20*16 =320

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно в описанном параллелограмме все стороны равны, он является ромбом. (a=c, b=d, a+c=b+d <=> 2a=2b <=> a=b)