Даны координаты точек а(4, -6, 1), в(2, 10, -1), с(2, -5, 3), d(1, -8, 1 вычислить 1)координаты векторов ав и сd; 2) длины векторов ав и сd; 3)скалярное произведение векторов ав и сd; 4) угол между векторами ав и сd; 5) записать векторы ав и сd в разложение по координатным векторам; 6)вычислить координаты и длину вектора -5ав-0, 1cd; 7) вычислить координаты середины отрезка ас.

1
АВ = B-A = (-2; 16; -2)
CD = D-C = (-1; -3; -2)
2
|AB| = √(2²+16²+2²) = √264 = 2√66
|CD| = √(1²+3²+2²) = √14
3
AB·CD = 2*1-16*3+2*2 = -42
4
cos(β) = -42/(2√66*√14) = √231/22
β = arccos(√231/22)
5
АВ = -2i+16j-2k
CD = -i-3j-2k
6
-5*AB-0.1*CD = -5(-2; 16; -2)-(-1; -3; -2)/10 = (101/10, -797/10, 51/5)
7
M = (A+C)/2 = (6;-11;4)/2 = (3;-11/2;2)

Точка М
М = (А+С)/2 =  ((-5; -7; 3) + (3; 5; -5))/2 = (-2; -2; -2)/2 = (-1; -1; -1)
Вектор ВМ
ВМ = М - В = (-1; -1; -1) - (4; 2; -2) = (-5; -3; 1)
Вектор АС
АС = С - А = (3; 5; -5) - (-5; -7; 3) = (8; 12; -8)
Скалярное произведение АС и ВМ
АС·ВМ = 8*(-5) + 12*(-3) - 8*1 = - 40 - 36 - 8 = - 84
Модули векторов
|АС| = √(8² + 12² + 8²) = √272 = 4√17
|BM| = √(5² + 3² + 1²) = √35
Косинус угла между векторами
cos(β) = АС·ВМ/(|АС|*|BM|) = -84/(4√17*√35) = -3√(7/85)

Внутренний угол ∠АМВ треугольника АВМ тупой, и равен arccos(-3√(7/85)) ≈ 149.4°
В качестве угла между прямыми принято указывать острый угол
180 - arccos(-3√(7/85)) ≈ 30.6°

Вычислим длины сторон
AB = √((2+3)²+(3+2)²+(4-5)²) = √(5²+5²+1²) = √51
AC = √((2-3)²+(3+4)²+(4+4)²) = √(1²+7²+8²) = √114
ВС = √((-3-3)²+(-2+4)²+(5+4)²) = √(6²+2²+9²) = √121 = 11
Полупериметр
p = (√51 + √114 + 11)/2
Площадь по формуле Герона
S² = p*(p-a)*(p-b)*(p-c)
S² = (√51 + √114 + 11)/2 * ((√51 + √114 + 11)/2-√51) * ((√51 + √114 + 11)/2-√114) * ((√51 + √114 + 11)/2-11)
S² = 1/2⁴*(√51 + √114 + 11) * (-√51 + √114 + 11) * (√51 - √114 + 11) * (√51 + √114 - 11)
Первые две скобки
(√51 + √114 + 11) * (-√51 + √114 + 11) = (√114 + 11)² - (√51)² = 114 + 22√114 + 121 - 51 = 184 + 22√114
Вторые две скобки
(√51 - √114 + 11) * (√51 + √114 - 11) =
= 51 + √51*√114 - 11√51 
- √114*√51 - 114 + 11√114
+ 11√51 + 11√114 - 121
= - 184 + 22√114 
---
S² = (22√114)² - 184² = 484*114 - 33856 = 21320
S = 1/2⁴ * 21320 = 2665/2
S = √(2665/2)