Периметр равнобедренного треугольника равен 96 см, а основание и высота, проведенная к нему, относятся как 3: 2. на медиане, проведенной к основанию, отмечена точка, равноудаленная от основания и боковой стороны. найдите это расстояние и длину вписанной в треугольник окружности.

Пусть дан треугольник АВС, ВМ - его медиана.

АС:ВМ=3:2

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Следовательно, медиана делит основание АС на АМ=МС, а точка на ней, равноудаленная от сторон треугольника, - центр вписанной в него окружности. ОМ=ОК=r.

Примем коэффициент отношения основания и высоты равным а.

Тогда ВМ=2а. и МС=АС:2=3а:2=1,5а,

По т. Пифагора найдем боковую сторону.

ВС=√(BM²+MC²)=√(4a²+2,25a²)=2,5a

АВ=ВС.

Р=2•2,5а+3а=8а

8а=96,⇒ а=12 см

ВМ=2•12=24 см

МС=1,5•12=18 см, АС=36 см

Формула радиуса вписанной в треугольник окружности

r=S:p, где р- полупериметр. р=96:2=48 см

r=ВМ•СМ:48=24•18:48=9 см

Длина окружности L=2πr=18π см

ответ: 25π (дм);  156,25π (дм²).

Объяснение: Для начала обратим внимание, что нам неизвестна гипотенуза.

      Теорема Пифагора: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

⇒ c²=a²+b² ⇒ c=√(a²+b²)=√(15²+20²)=√(225+400)=√625=25 (дм).

      НО можно было не вычислять поскольку есть такое понятие пифагорова тройка, которая содержит пифагоровые числа, удовлетворяющие соотношению Пифагора.

       Поэтому мы могли сразу написать по табличке, что:

|  a  |  b  |  c  |

| 15 | 20 | 25 |

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Т.к. AC - диаметр окружности с центром в точке О ⇒ R=25/2=12,5 (см).

    Сразу найдём теперь и длину окружности, и площадь круга.

C=2π12,5=25π (дм);          S=π12,5²=156,25π (дм²).

Відповідь:

75°, 21° та 84 °

Пояснення:

По-перше знайдемо кут суміжний відомому зовнішньому: 180-105=75°

То ж один кут = 75°, другий кут позначимо просто Х, а третій кут, той що в 4 рази більший, позначимо 4*Х.

Відомо, що сума всіх внутрішніх кутів будь-якого трикутника = 180°.

Запишемо математичну модель до задачі, використовуючі умовні позначення сторін:

75 + Х + 4Х = 180

Х + 4Х = 180 - 75

5Х = 105

Х = 21

Другий кут = 21°, а третій кут буде 4 * 21° = 84°.

Перевіримо наші відповіді:

75°+21°+84°=180°

Рішення вірне!