Дан треугольник abc, mn – его средняя линия, параллельная ас, к – середина м, o произвольная точка плоскости. докажите, что вектор oa + вектор 2 ob + вектор oc = вектор 4ok.​

По условию секущая плоскость параллельна плоскости КМТ. 

Точки А и В лежат в плоскости грани МРТ и являются серединами сторон МР и ТР треугольника МТР. 

Следваоетльно, прямая АВ параллельна МТ. 

Из т.В проведем прямую ВС параллельно КТ.  

ВС - средняя линия ∆ КТР. 

С- середина КР,  АС - средняя линия ∆ МКР и параллельна МК. 

Две пересекающиеся прямые АВ и МС плоскости АВС  параллельны  двум пересекающимся прямым МТ и ТК плоскости МКТ. Это признак параллельности плоскостей, следовательно, АВС - искомое сечение. 

Пусть О - центр окружности, описанной около ΔАВС.
Рассмотрим ΔАОВ:
ОА=ОС=r, значит ΔАОВ -равнобедренный (впоследствии он окажется и равносторонним, но это при решении данной задачи значения не имеет). Точка Н- середина стороны АВ, через неё проведён серединный перпендикуляр ОН, который является медианой, биссектрисой и высотой.
Так как  Н- середина стороны АВ, то АН=НВ=120.
∠АСВ=30° является вписанным углом, опирающимся на дугу АВ, значит градусная мера дуги АВ=60°
∠АОВ при этом является центральным углом, опирающимся на дугу АВ, значит ∠АОВ=60°
Рассмотрим Δ ОНВ: он прямоугольный, т.к. ОН⊥АВ; ∠НОВ=30°, т.к. ОН является и биссектрисой; а НВ=120 это катет, лежащий против угла в 30°.
Значит


...Ну и как "Лучший ответ" не забудь отметить, ОК?!.. ;)