Втреугольной призме авса1в1с1 стороны основания равны 2 , а боковое ребро равно 3 . на боковом ребре аа1 взята точка р так, что а1р = 1 . а) докажите, что прямые ср и в1р перпендикулярны. б) найдите угол между плоскостями срв1 и асс1 .

Пусть A - Начало Координат

Ось X - AC

Ось Y - перпендикулярно X в сторону B

Ось Z - AA1

a)

Вектора

СР (-2;0;2)

B1P (-1;√3;-1)

CP*B1P = (-2)*(-1)+0*√3+2*(-1) =0 - перпендикулярно

б)

Уравнение плоскости СPB1

ax+by+cz+d =0  - подставляем координаты точек

С(2;0;0)

2a+d=0

P(0;0;2)

2c+d=0

B1(1;√3;3)

2a+√3b+3c+d=0

Пусть d= -2 , тогда а=1 с=1 b= -1/√3

Уравнение

x -y/√3+z-2=0

Уравнение плоскости ACC1

y=0

Косинус угла между СРВ1 и АСС1

1 /√3 /1 /√(1+1/3+1)= 1/√7

Построим сумму векторов а и b и их разность.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129

Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301

а - сторона ромба

периметр

Р = 4 а = 52

а = 52/4 = 13 см

Диагонали ромбы d1 и d2 перпендикулярны = >

d1 / d2 = 5 / 12 или d1 = 5d2 / 12

Cтороны прямоугольных треугольников, образуемых диагоналями, будут ^

d1/2, d2/2 - катеты

а - - гипотенуза (она же сторона ромба)

По теореме пифагора

(d1/2) ^2 + (d2/2) ^2 = a^2

d1^2 + d2^2 = 4a^2

(5d2 / 12) ^2 + d2^2 = 13^2

25d2^2 + 144d2^2 = 13^2 * 12^2

169d2^2 = (13^2*12^2

13^2 d2^2 = 13^2 * 12^2

d2^2 = 12^2

d2 = 12 см - вторая диагональ

d1 = 5d2 / 12 = 5 * 12 / 12 = 5 - первая диагональ

ответ: диагонали d1=5 cм, d2 = 12 см