Основание прямой призмы abca1b1c1 — равнобедренный прямоугольный треугольник abc с прямым углом при вершине c. точка m — середина ребра ab. известно, что ab=2aa1. докажите, что прямые a1c и mb1 перпендикулярны.

Пусть С - начало координат .

Ось Х - CA

Ось Y - CB

Ось Z - CC1

Пусть CA=CB =1 , Тогда AB = √2 AA1=√2/2

Вектора

A1C (-1;0;-√2/2)

MB1(-0.5;0,5;√2/2)

A1C * MB1 = (-1)*(-0.5)+0*0.5+(-√2/2)*√2/2= 0 - перпендикулярны .

 Знайти проекцію точки M(3;-2;0) на площину 3x-2y+z+1=0.  

Для этого надо найти точку пересечения перпендикуляра из точки М к заданной плоскости с самой плоскостью.    

Нормальный вектор этой плоскости равен (3; -2; 1) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.

Получаем уравнение перпендикуляра из точки М(3; -2; 0).

((x – 3)/3 = (y + 2)/(-2) = ((z – 0)/1.

Координаты, которые имеет точка Е пересечения  x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:

{((x – 3)/3 = (y + 2)/(-2) = z/1.

{3x - 2y + z + 1 = 0.

Из уравнения прямой получаем зависимость переменных.

-2x + 6 = 3y + 6, отсюда y = (-2/3)x.

x - 3 = 3z, отсюда z = (1/3)x - 1.

Подставим их в уравнение плоскости 3x-2y+z+1=0.

3x – 2((-2/3)x) + 1((1/3)x -1) + 1 = 0,

3x + (4/3)x + (1/3)x – 1 + 1 = 0,

(14/3)x = 0,

x = 0,

y = (-2/3) *0 = 0,

z = (1/3)*0 - 1 = -1.

Найдена точка E пересечения перпендикуляра из точки М и плоскости, которая и является проекцией точки М на заданную плоскость.

ответ: Е(0; 0; -1).

т.к. по условию MB⊥ (АВС), то МВ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости прямоугольника, т.е. МВ⊥ВС;    МВ⊥АВ  и МВ⊥ВD , значит,  треугольники МВС ; МВА ; МВС , MBD прямоугольные .  

МС=7см;  МА=6 см , MD=9 см - самая большая, т.к. проекция ВD-диагональ прямоугольника самая большая проекция указанных наклонных на плоскость прямоугольника.

Т.к.расстояние от точки до плоскости МВ можно найти через стороны и через диагональ прямоугольника, которые связаны теоремой Пифагора. nто если АВ=х, ВС=у, и. значит.  х²+у²=ВD²

МВ²=МС²-ВС²=МА²-АВ²=МD²-BD² или 7²-у²=6²-х²=9²-(х²+у²), но из первых двух 7²-у²=6²-х² найдем  у² через х²,

у²=7²-6²+х², у²=(7-6)*(7+6)+х²=13+х²,

подставим в 9²-(х²+у²)=6²-х²

9²-(х²+13+х²)=6²-х² ⇒ 9²-6²-13=2х²-х²;

х²=15*3-13;

х²=32, т

тогда МВ²=6²-х² =36-32=4, значит, МВ=2

ответ 2