Меньшее основание равнобедренной трапеции равно а см, а острый угол 30 градусов. найдите площадь трапеции, если меньшая диагональ образует с основанием угол 60

ABCD - трапеция, BC=a, ∠A=∠B=90°, ∠BCA=∠DAC=60°, ∠D=30°

В треугольнике с углами 30°, 60°, 90° стороны относятся как 1:√3:2

△ACB: BC=a => AB=a√3, AC=2a

△DAC: AC=2a => AD=4a

S(ABCD)= (AD+BC)AB/2 =(4a+a)a√3/2 =5√3/2 *a^2

№2

1) 40°

Δ ADB-равнобедренный (т.к. стороны(AD и DB) равны), следовательно углы при основании (AB) равны, т.е. ∠ А = ∠ В = 40°.

2)140°

ΔСАВ-равнобедренный (т.к. стороны(AС и АB) равны), следовательно углы при основании (СB) равны, т.е. ∠ С = ∠ В = 40°.     ∠ DBA=180°-40°=140°. (это по свойству смежных углов)

3)40°

ΔСВК-равнобедренный (т.к. стороны(СК и КВ) равны), следовательно углы при основании (СВ) равны, т.е. ∠С = ∠ В = 40°.     ∠СВК= ∠DBA = 40°. (это как вертикальные)

4)40°

Δ BDC = Δ BDA (по трем сторонам: АВ=ВС, AD=DC, BD-общая сторона (признак равенства треугольников)). Из этого следует, что ∠DBC= ∠DBA=40°.

5) (проблемка)

Δ BDC = Δ BDA (по трем сторонам: АВ=ВС, AD=DC, BD-общая сторона (признак равенства треугольников)). Из этого следует, что ∠DBC= ∠DBA. (В принципе тоже самое что и в 4-ом пункте, только здесь нет градусной меры угла. Возможно так и задумано, но я придумать не могу, как решить.)

6)60°

Δ BКМ = ΔBСМ (по трем сторонам: МК=СМ, ВК=ВC, BМ-общая сторона (признак равенства треугольников)). Из этого следует, что ∠КВМ= ∠ СВМ=30°.

∠СВК= ∠СВМ+ ∠КВМ= 30°+30°=60°.      ∠СВК = ∠DBA = 60°. (это как вертикальные).

7) (тоже проблемка, но у меня получилось 130°)

Δ ВСК будет равен (возможно!) ΔАВС (по трем сторонам: АВ=ВК, AС=КC(но на рисунке этого не показано, я решала так, если бы они были равны!!), BС-общая сторона (признак равенства треугольников)). Из этого следует, что ∠ КВС= ∠АВС=25°. А дальше решать по свойству смежных углов: сумма смежных углов должна быть равна 180°, следовательно

∠КВС+ ∠СВА+ ∠DBA= 180°

∠DBA= 180° - ∠КВС- ∠СВА=180°-25°-25°=130°

Надеюсь понятно

№1
а) угол АОВ = 108, так как углы С и АОВ опираются на одну и ту же дугу АВ. Угол С - вписанный, и равен половине дуги на которую опирается. Так как угол АОВ - центральный, следовательно он равен градусной мере дуги, на которую опирается.
б) Аналогично а. Угол АОВ = 272

№2
1) Угол А = 180 - <В-<С = 64 |=>    <C(вписанный) и <AOB(центральный) опираются на одну дугу АВ, <B(вписанный) и <AOC(центральный) опираются на одну дугу АС, <A(вписанный) и <BOC(центральный) опираются на одну дугу ВС.
<AOB = 2<C = 128
<AOC = 2<B = 104
<BOC = 2<A = 128