Пусть точка h - ортоцентр остроугольного треугольника abc. докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники ahb, bhc, cha, равны, то треугольник abc - правильный.

Все эти треугольники имеют одну и ту же окружность Эйлера, а значит, у них одинаковые радиусы описанных окружностей. Раз равны и радиусы вписанных, то равны (по формуле Эйлера) и расстояния от центров вписанной и описанной окружностей для каждого треугольника. То есть эти треугольники AHB, BHC, CHA удовлетворяют теореме Понселе для заданной пары двух окружностей (одна описанная и одна вписанная).

То есть есть фиксированная пара вложенных окружностей, в которую можно поместить каждый из этих треугольников так, что большая окружность будет описанной, а меньшая - вписанной.

Для теоремы Понселе для треугольника легко доказать что, если у двух треугольников с ОБЩИМИ вписанной и описанной окружностями есть одинаковые стороны, то они равны (с точностью до симметрии).

(Если бы это было не так, то из леммы трезубца следовало бы, что центр вписанной окружности совпадает с центром описанной. )

Поэтому все три треугольника AHB, BHC, CHA равны между собой.

Я не очень боюсь выкладывать идею решения - по двум причинам. Во-первых, этот пост легко можно признать нарушением правил и удалить. Во-вторых, сама задача должна быть удалена согласно правилам сервиса.

Так что эта публикация не нарушает моего решения не выкладывать ответы на этом сервисе (до возврата к правилам 2012 года, когда я тут начинал что-то решать).

пусть точки А1 и А2 принадлежат прямой а

точки В1 и В2 принадлежат прямой б

с пересекает а в точке О1

с пересекает б в точке О2

а параллельна б

угол А1О1С=20 градусов

угол А1О1А2 развернутый и равен 180, тогда угол А2О1С смежный с углом А1О1С и равен 180-20=160

А1О1С и О2О1А2 вертикальные, значит они равные и равны 20 

А2О1О2 и В1О2О1 внутренние накрест лежащие и тоже равны между собой по 20

В1О2О1 и В2О2С вертикальные и равны 20

А2О1С и О2О1А1 вертикальные и равные, равны по 160

А1О1О2 и В1О2О1 внутренние накрест лежащие, поэтому равные и равны по 160

В2О2О1 и В1О2С вертикальные, равны по 160

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие задачи дано с ошибкой. Должно быть так:
В ΔАВС АВ = 15,  АС = 20,  ВС = 32.  На стороне АВ отложен отрезок АD = 9 см,  на стороне АС отрезок АЕ = 12 см. Найти DЕ и отношение площадей треугольника АВС и АDЕ.

AD : AB = 9 : 15 = 3 : 5
AE : AC = 12 : 20 = 3 : 5
∠А - общий для треугольников АВС и ADE, значит
ΔАВС подобен ΔADE по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Коэффициент подобия:
k = 3/5
DE : BC = 3 : 5
DE : 32 = 3 : 5
DE = 32 · 3 / 5 = 19,2
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
Sabc : Sade = 9 : 25