Впрямоугольник одна сторона равна 65 а диагональ равна 97. найдите площадь прямоугольника

Пусть в прямоугольнике ABCD BC=65, а BD - диагональ, равная 97.

Рассмотрим ΔBCD - прямоугольный: BC=65, BD=97, ∠С-прямой, CD-?

По теореме Пифагора CD²=97²-65²

CD=корень из (97²-65²)

CD=корень из (9409-4225)

CD=√5184

CD=72

S(ABCD)=BC*CD=65*72=4680

ответ: 4680.

Как известно, у параллелограмма противоположные стороны равны. Поэтому, мы можем попробовать составить два вектора - AB и CD
если они параллельны друг другу, то будет выполняться условие AB=CD*n
где n-некое число

AB=(-2-(-5);3-(-6))=(3;9)
CD=(7-10;0-9)=(-3;-9)

Как видно, AB=CD*-1, поэтому вектора AB и CD параллельны

Проверим это же условие для сторон AD и BC
AD=(7-(-5);0-(-6))=(12;6)
BC=(10-(-2);9-3)=(12;6)

Как видно, вектора AD и BC параллельны

Есть еще одно условие: если диагонали четырехугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам, то четырехугольник - параллелограмм.

Для этого найдем координаты середин отрезков AC и BD




Как видно, обе диагонали имеют середины в одной и той же точке

Учитывая все доказательства выше, можно говорить, что ABCD - параллелограмм

Длины всех сторон можем найти, посчитав длины векторов выше

AB=(3;9)

CD=(-3;-9)

AD=(12;6)

BC=(12;6)

 АВСD- квадрат.

О - центр нижнего основания цилиндра, в который вписан квадрат. О1- центр верхнего основания. 

АВ=СD=10 см - хорды окружностей в основании цилиндра.

Радиус оснований= 7 см.  

Соединим О с концами хорды АВ. 

 Проведем высоту  ОН (она же медиана) в равнобедренном ∆ АОВ. ВН=АН=5 см 

МН║ВС=10 см – средняя линия АВСD и пересекает ось цилиндра. 

ОН=√(AO²-AH²)=√(49-25)=√24=2√6

Точка М проецируется в точку К на диаметре основания. 

МК и ОО1 перпендикулярны основаниям,  поэтому МКОО1 – прямоугольник. 

Равные хорды находятся на равном расстоянии от центра окружности. ⇒КО=МО1=ОН. 

 КН=2•ОН=4√6

МК - общий перпендикуляр к плоскостям оснований цилиндра.⇒  

МК – высота цилиндра. 

Из ∆МКН по т.Пифагора МК=√(МН²-КН²)=√(100-96)=2 см 

S поверхности цилиндра =2•S1оснований +S2 боковой поверхности. 

S1=π•7²=49π см² 

S2=2πr•h=28π см².

S=2•49π+28π=126π см²