Используя теорему косинусов и теорему о площади треугольника, найти np, угол p, smnp, если mn=2дм, mp=5дм, угол m=45°

По теореме косинусов:

NP^2=MP^2 + MN^2 - 2 * MP * MN * cosM;

Подставляем значения(дм в см перевел)

NP^2=2500 + 400 - 2 * (50 * 20 * √2/2) =  2900 - 1000√2

NP = √(2900 - 1000√2)

По теореме о площади треугольника:

Snpm = 1/2 * MN * MP * sinM = (20 * 50 * √2/2) / 2 = 250√2

∠N  - прямой - 90°, ∠M = 45°(по условию) ∠P = 180° - 90° - 45° = 45°

Объяснение: №1.  а₃=6√3, ⇒ r = а₃/2√√3 = 6√3 /2√√3= 3,    a₆=r=3, ⇒ P₆=3·6=16,  S₃ = a₃²√3/4 = 108√√3/4 = 28√3                                              №2.  a₄ = 5√3, но а₄ =R√2, ⇒ R= 5√3/√2 = 5√6/4; ⇒А₄=2Rtg45°=2R = 5√6/2; ⇒  p₄= 4·5√3= 20√√3,    P₄= 4·5√6/2 = 10√6;   s₄= (5√3)²= 75, S₄= (5√6/2)²=37,5                                                                                                 №3. a₃= 3√5, ⇒ R = a₃/√3= 3√5/√3 = √15;     a₆= 2Rtg(180°/6) = 2√15· √3/3= 2√√5;       P₆= 6·2√5 =12√5;            S₃= а₃²√3/4 = (3√5)²·√3/4 = 45√3/4

5 см

Объяснение:

1) Опустим перпендикуляр из точки М на сторону АС.

МК - кратчайшее расстояние от М до АС, равное согласно условию задачи, 2√13 см.

2) Так как МВ перпендикулярно плоскости треугольника АВС, то МВ⊥ВК - проекции МК на плоскость АВС, ∠МВК - прямой, ВК⊥АС, ВК - высота ΔАВС.  

3) Находим ВК как высоту правильного треугольника АВС:

ВК = (a√3)/2, где а - сторона правильного треугольника; а = 6 см, согласно условию задачи;  

ВК = (a√3)/2 = (6√3)/2 = 3√3 см

4) В прямоугольном треугольнике МВК:

МВ и ВК являются катетами, а МК - является гипотенузой.

Согласно теореме Пифагора:

МВ² = МК² - ВК²

МВ² = (2√13)² - (3√3)² = (4·13 - 9·3) = 52-27 = 25

МВ = √25 = 5 см

ответ: 5 см